Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Lấy $F$ là một điểm bất kì thuộc cung $AB$ (không chứa C) sao cho F không trùng với các điểm $A,B$. Gọi $M$ là điểm chính giữa của cung $BC$ (không chứa A) và $N$ là điểm chính giữa của cung $AC$ (không chứa B). Đường thẳng qua C song song với đường thẳng $MN$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $P$ (khác C). Gọi $I,I_1,I_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC$, $FAC$, $FBC$. Đường thẳng $PI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $G$ (khác $P$).
a) Chứng minh $NPMI$ là hình bình hành.
b) Chứng minh 4 điểm $I_1,I_2;G,F$ cùng nằm trên một đường tròn.

Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có các đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tia $IH$ cắt $(O)$ tại $T$. Trên đường thẳng $EF$ lấy điểm $D$ sao cho $\widehat{AHD}=90^{\circ }$.
1. Chứng minh rằng $\widehat{ATH}=90^{\circ }$ và đường thẳng $DT$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HEF$.
2. Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $EF$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIT$ ($M$ và $E$ khác phía đối với $F$). Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $AH$ với $(O)$ $(P\ne A)$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $MB$ với đường thẳng $TP$. Chứng minh rằng $K{C}^2=KP\cdot KT$.

Câu 5. (5 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $M,N$ và $P$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,CA$ và $AB$. Gọi $X,Y$ và $Z$ theo thứ tự là giao điểm của các tiếp tuyến khác $BC,CA,AB$ kẻ từ $N$ và $P$, kẻ từ $M$ và $P$, kẻ từ $M$ và $N$ tới $(I)$, sao cho tam giác $XYZ$ nhận $(I)$ làm đường tròn nội tiếp và các điểm $M,N,P$ theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng $YZ,ZX,XY$.

a. Chứng minh đường tròn nội tiếp mỗi tam giác $XPN,YPM,ZMN$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác $MNP$.

b. Chứng minh $I$ là tâm đẳng phương của các đường tròn nội tiếp tam giác $XPN,YPM$ và $ZMN$.

Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $P$, $Q$. Đường thẳng qua $P$ cắt $(O_1)$, $(O_2)$ lần lượt tại $A$ và $B$ (không trùng với $Q$). Trên đường tròn $(O_1)$ lấy điểm $F$ thuộc cung $\widehat{PQ}$ không chứa điểm $A$. Kẻ đường thẳng $d$ qua $F$ song song với $AB$, $d$ cắt đường tròn $(O_2)$ tại $C$, $E$ và cắt lại $(O_1)$ tại $D$ ($E$, $F$ nằm trong đoạn $CD$). Gọi $M$ là giao điểm $AD$ và $BE$, $N$ là giao điểm $BC$ và $AF$, $K$ là điểm đối xứng của $P$ qua $CD$.

a) Chứng minh $M$, $K$, $N$ thẳng hàng.

b) Chứng minh $PK$ là đường phân giác của góc $\widehat{MPN}$.

Cho hai đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ có bán kính khác nhau và cắt nhau tại hai điểm $A$, $B$. Kẻ tiếp tuyến chung $CD$ của hai đường tròn (gần $B$ hơn) với $C\in (O_1)$; $D\in (O_2)$. Dựng điểm $H$ sao cho tam giác $HCD$ nhận $B$ làm trực tâm. Kẻ đường kính $CR$ của $(O_1)$ và đường kính $DS$ của $(O_2)$. Biết rằng $BR$ cắt $HC$ ở $P$ và $BS$ cắt $HD$ ở $Q$. Dựng các điểm $I$, $J$ sao cho các đoạn thẳng $HI$, $HJ$ lần lượt nhận $P$, $Q$ là trung điểm. Chứng minh rằng hai tam giác $AIC$ và $AJD$ có cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ và có tâm đường tròn nội tiếp $I$. Kẻ phân giác $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ của tam giác $ABC$, trong đó $B^{\prime },C^{\prime }\in (O)$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $I$, vuông góc $OI$. Giả sử $d$ cắt các đoạn thẳng $AB,BC,B^{\prime }{C}^{\prime }$ lần lượt ở $E,D,H$ và cắt tia đối của tia $AC$ ở $F$. Trên $(O)$ lấy điểm $L$ sao cho $AL$ song song với $d$. Gọi $A^{\prime }$ là trung điểm của cung lớn $BC$ của $(O)$ và $A^{\prime }I$ cắt lại $(O)$ tại $K$.

(1) Chứng minh rằng $AH=HI=ID=DL=DK$.

(2) Gọi $J$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Lấy điểm $G$ trên $(O)$ sao cho $HG$ vuông góc $IJ$ và lấy các điểm $R,S$ trên $(O)$ sao cho $GI=GR=GS$. Giả sử rằng $A,G$ nằm khác phía nhau so với đường thẳng $RS$. Chứng minh rằng $AG,RS$ cắt nhau tại một điểm trên $(J)$.

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các tia $AO,BO,CO$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $X,Y,Z$. Đường thẳng $XZ$ cắt $AC$ tại $E$; đường thẳng $XY$ cắt $AB$ tại $F$. Các đường thẳng $BE$, $CF$ cắt nhau tại $Q$. Các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $P$.
a) Chứng minh rằng các điểm $A,O,Q$ thẳng hàng.
b) Giả sử $PQ$, $EF$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng $T$ là trung điểm của $EF$.