Xét tập hợp $A$ gồm $n$ số tự nhiên $x_1,x_2,\dots ,x_n$ thỏa mãn cả hai điều kiện sau:

i) $1=x_1<x_2<\cdots <x_n=2026$.

ii) Với mọi $k\in \{2,3,\dots ,n\}$, luôn tồn tại $i,j\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ với $i<k$, $j<k$ sao cho $x_k=x_i+x_j$ ($x_i$ có thể bằng $x_j$).

a) Chỉ ra một tập hợp $A$ với $n=15$.

b) Chứng minh $n\ge 13$.

a) Chọn $A=\{1,2,4,8,16,32,64,128,256,384,386,418,804,1608,2026\}$ với lưu ý:
$$386=2+384;418=32+386;804=386+418;1608=804+804;2026=418+1608$$

b) Với mọi $k\ge 2$, do $x_k$ là tổng của hai số đứng trước nó nên $x_k\le 2x_{k-1}$.
Vì $x_1=1$ nên $x_k\le 2^{k-1}$, và từ $x_n=2026>2^{10}=1024$ nên $n\ge 12$.
Giả sử $n=12$. Từ $x_{12}=2026$ suy ra $x_{11}\ge 1013$, $x_{10}\ge 507$, $x_9\ge 254$, $x_8\ge 127$, $x_7\ge 64$.
Mặt khác $x_7\le 2^6=64$ nên $x_7=64$.
Để đạt được giá trị $2^6$ sau 6 bước thì bước đầu bằng phải xảy ra ở mọi bước từ $x_1$ đến $x_7$. Do đó
$$(x_1,x_2,\dots ,x_7)=(1,2,4,8,16,32,64)$$
Vì $x_8\ge 127$, mà nếu $x_8\ne 64+64$ thì tổng lớn nhất của hai số trong $\{x_1,\dots ,x_7\}$ chỉ là $64+32=96$, nên $x_8=128$. Tương tự, từ $x_9\ge 254$, $x_{10}\ge 507$, $x_{11}\ge 1013$, ta lần lượt buộc phải có
$$x_9=256,x_{10}=512,x_{11}=1024.$$
Cuối cùng, $x_{12}$ là tổng của hai số trong $\{x_1,\dots ,x_{11}\}$. Nếu hai số đó đều là 1024 thì tổng bằng 2048; còn nếu không thì tổng lớn nhất chỉ là $1024+512=1536<2026$ nên $x_{12}\ne 2026$, mâu thuẫn.
Vậy $n\ne 12$. Kết hợp với $n\ge 12$, ta được $n\ge 13$.

Nhận xét: Trên thực tế ta có thể chỉ ra $n=15$ là giá trị nhỏ nhất của $n$, tuy nhiên điều này sẽ cần nhiều biến đổi phức tạp hơn. Bạn đọc có thể thử sức với bài toán tương tự sau:
(Chuyên Toán Hà Nội 2026) Xét số nguyên dương $n$ và tập hợp $S$ gồm $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
- $a_1<a_2<a_3<\cdots <a_n=2000$.
- Với mọi số tự nhiên $k$, $2\le k\le n$, tồn tại các số nguyên dương $i,j$ nhỏ hơn $k$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $a_k=a_i+4a_j$.
(1) Chứng minh tất cả các phần tử của tập hợp $S$ đều là số chẵn.
(2) Tìm giá trị lớn nhất của $n$.