Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia THPT 2026-2027 Sở GD&ĐT Đồng Nai

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ thỏa mãn $$f(m+f(n))=f(m)+9n,$$ với mọi số nguyên $m$, $n$.

Câu 2. (6,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=1$ và $u_{n+1}=\frac{u_n+4}{u_n+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

b) Chứng minh tồn tại hàm phân thức $f(x)=\frac{x+a}{x+b}$ $(a\ne b)$ sao cho dãy $(f(u_n))$ lập thành một cấp số nhân.

Câu 3. (5,0 điểm) Đặt $A=2026!+1$ và xét đa thức $$P(x)=A{x}^{4050}+b_1{x}^{4048}+b_2{x}^{4046}+\cdots +b_{2024}{x}^2+A,$$ trong đó $b_1,b_2,\dots ,b_{2024}$ là các số nguyên. Chứng minh $P(x)$ không có nghiệm hữu tỉ trong mỗi trường hợp sau:

a) $b_1+b_2+b_3+\cdots +b_{2024}=2025$.

b) $b_1+b_3+\cdots +b_{2023}=2025$ và $b_2+b_4+\cdots +b_{2024}=1$.

Xét tập hợp $A$ gồm $n$ số tự nhiên $x_1,x_2,\dots ,x_n$ thỏa mãn cả hai điều kiện sau:

i) $1=x_1<x_2<\cdots <x_n=2026$.

ii) Với mọi $k\in \{2,3,\dots ,n\}$, luôn tồn tại $i,j\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ với $i<k$, $j<k$ sao cho $x_k=x_i+x_j$ ($x_i$ có thể bằng $x_j$).

a) Chỉ ra một tập hợp $A$ với $n=15$.

b) Chứng minh $n\ge 13$.

Với mỗi số nguyên dương $n$, ta đặt $T_n=2027^n-2026^n$.
a) Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n$ là ước của $T_n-1$.
b) Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại số nguyên $m$ thỏa mãn $T_n$ là ước của $m^2+4053^2$ (trong đó $4053=3\times 7\times 193$).

Câu 6. (6,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ không cân. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các đường thẳng $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $EF$, đường thẳng $MB$ cắt đường thẳng $DE$ tại $S$ và đường thẳng $MC$ cắt đường thẳng $DF$ tại $R$.
a) Chứng minh ba điểm $A$, $R$, $S$ thẳng hàng.
b) Gọi $d$ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $AD$ qua đường phân giác trong góc $BAC$. Chứng minh các đường thẳng $RE$, $SF$ và $d$ đồng quy.

Câu 7. (7,0 điểm) Cho số nguyên dương lẻ $n\ge 2$ và một số nguyên tố lẻ $p$. Xét một bảng vuông $n\times n$, tại mỗi ô vuông đơn vị ta điền một số nguyên thuộc tập $\{1,2,\dots ,p-1\}$. Một bảng được gọi là “TPDN” nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) Tích của 4 số trong bất kỳ ô vuông $2\times 2$ nào trên bảng đều đồng dư với 1 mô-đun $p$.
ii) Tích của tất cả $n^2$ số trên bảng đồng dư với $-1$ mô-đun $p$.
a) Hãy hoàn thành bảng “TPDN” với $n=3$ và $p=5$ sau đây:

b) Tính số lượng bảng “TPDN” theo $n$ và $p$ (hai bảng được gọi là khác nhau nếu tồn tại ô vuông đơn vị ở hàng $i$ và cột $j$ trong hai bảng chứa hai số khác nhau).