Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ B có phương trình là ${\Delta }_1:x+3y-18=0$, phương trình đường trung trực của đoạn BC là ${\Delta }_2:3x+19y-279=0$, đỉnh C thuộc đường thẳng $d:2x-y+5=0$ và biết $\widehat{BAC}=135^0$. Giả sử $A(a;b)$, tính tổng $a^2+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ B là Δ₁: x + 3y − 18 = 0 có hệ số góc −1/3, nên AC ⊥ Δ₁ ⇒ hệ số góc của AC bằng 3. Vì góc BAC = 135° nên tan(BAC) = −1. Gọi hệ số góc của AB là m, ta có (m − 3)/(1 + 3m) = −1 ⇒ m = 1/2, hoặc (3 − m)/(1 + 3m) = −1 ⇒ m = −2.

Xét m = −2 (trường hợp cho góc tù 135° giữa hai vectơ): AB: y − b = −2(x − a). Giao với Δ₁: x + 3(b − 2x + 2a) − 18 = 0 ⇒ B = ((6a + 3b − 18)/5; (36 − 2a − b)/5).

AC: y = 3x − 3a + b, giao với d: 2x − y + 5 = 0 ⇒ C = (3a − b + 5; 6a − 2b + 15).

Vì Δ₂ là trung trực của BC nên: (1) trung điểm M của BC thuộc Δ₂; (2) BC ⊥ Δ₂, tức vectơ BC cùng phương (3; 19).

Từ C − B = ((9a − 8b + 43)/5; (32a − 9b + 39)/5) cùng phương (3; 19): 19(9a − 8b + 43) = 3(32a − 9b + 39) ⇒ 75a − 125b = −700 ⇒ 3a − 5b = −28.

Từ M = ((21a − 2b + 7)/10; (28a − 11b + 111)/10) thuộc Δ₂: 3(21a − 2b + 7) + 19(28a − 11b + 111) = 2790 ⇒ 595a − 215b = 660 ⇒ 119a − 43b = 132.

Giải hệ: a = (5b − 28)/3, thay vào: 595b − 3332 − 129b = 396 ⇒ 466b = 3728 ⇒ b = 8, a = 4. Vậy A(4; 8).

Kiểm tra: B = (6; 4), C = (9; 23); AB·AC = (2;−4)·(5;15) = −50, |AB||AC| = √20·√250 = 50√2 ⇒ cos = −√2/2 ⇒ góc A = 135° ✓; trung điểm BC = (7,5; 13,5): 3·7,5 + 19·13,5 = 279 ✓.

(Trường hợp m = 1/2 cho góc 45° giữa các vectơ AB, AC nên bị loại.)

Vậy a² + b = 16 + 8 = 24, khớp đáp án nguồn.