Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $d:x-2y+3=0$, $\Delta :2x+y-1=0$ và điểm $M(1;-2)$. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau.

Lời giải (DSSD)

a. Đường thẳng $d:x-2y+3=0$ có véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-2)$.

Suy ra véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u}=(2;1)$.

Vậy a đúng.

b. Đường thẳng $d:x-2y+3=0$ có véc-tơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_1=(1;-2)$.

Đường thẳng $\Delta :2x+y-1=0$ có véc-tơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_2=(2;1)$.

Khi đó, $\cos (d,\Delta )=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{|1\cdot 2+(-2)\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}\cdot \sqrt{2^2+1^2}}=0$.

Suy ra góc giữa hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ bằng $90^{\circ }$.

Vậy b sai.

c. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$ và $d$ là nghiệm của hệ phương trình

$$\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ 2x+y-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-2y=-3\\ 2x+y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{5}\\ y=\frac{7}{5}\end{array}$$

Vậy giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$ và $d$ là $N\left(-\frac{1}{5};\frac{7}{5}\right)$.

Do đó, c sai.

d. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là $d(M,\Delta )=\frac{|2\cdot 1+(-2)-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Vậy d đúng.
a) a. Đường thẳng $d:x-2y+3=0$ có véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-2)$.

Suy ra véc-tơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u}=(2;1)$.

Vậy a đúng.
b) b. Đường thẳng $d:x-2y+3=0$ có véc-tơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_1=(1;-2)$.

Đường thẳng $\Delta :2x+y-1=0$ có véc-tơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_2=(2;1)$.

Khi đó, $\cos (d,\Delta )=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{|1\cdot 2+(-2)\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}\cdot \sqrt{2^2+1^2}}=0$.

Suy ra góc giữa hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ bằng $90^{\circ }$.

Vậy b sai.
c) c. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$ và $d$ là nghiệm của hệ phương trình

$$\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ 2x+y-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-2y=-3\\ 2x+y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{5}\\ y=\frac{7}{5}\end{array}$$

Vậy giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$ và $d$ là $N\left(-\frac{1}{5};\frac{7}{5}\right)$.

Do đó, c sai.
d) d. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $\Delta$ là $d(M,\Delta )=\frac{|2\cdot 1+(-2)-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Vậy d đúng.