Trong mặt phẳng $Oxy$, tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}=(1;-2),\vec{b}=(-5;6)$ bằng

Câu 3 (4 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ có đường cao $AD$ và trực tâm $H$. Gọi $J,K$ lần lượt là trung điểm của $BC,HD$. Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ lên $AB,AC$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Chứng minh rằng $GK\perp AJ$.

Câu 2 (5,0 điểm).

a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình thang cân $ABCD$ có hai đáy là $AB$ và $CD$ với $CD=3AB$, hai đường chéo $AC,BD$ vuông góc nhau tại $I$. Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $DA=3DM$ và điểm $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $IB$. Đường thẳng $IM$ đi qua điểm $P(10;7)$ và đường thẳng $CN$ có phương trình là $7x+5y-37=0$. Chứng minh rằng $IM$ vuông góc với $CN$ và tìm tọa độ điểm $C$, điểm $D$ biết $A(2;3)$.

b) Cho tam giác $ABC$ có $AD$ là đường phân giác trong góc $A$ và $BM$ là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ (với $D$ thuộc cạnh $BC$ và $M$ thuộc cạnh $AC$). Biết rằng hai đường thẳng $AD$ và $BM$ vuông góc với nhau và $BM=\frac{3}{2}\sqrt{5-2\sqrt{5}}.AD$. Tính $\cos A$.

Cho tam giác $ABC$ có $AB=2$, $AC=8$, $\widehat{BAC}=135^{\circ }$. Điểm $I$ là trung điểm của cạnh $AB$ và điểm $J$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $AJ=\frac{1}{4}AC$ (như hình vẽ bên).

(0,5 điểm) Cho tam giác $ABC$ đều có cạnh $AB=8$. Biết rằng $\vec{u}=\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{CB}$. Khi đó $\left|\vec{u}\right|$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Cho hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ sao cho $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{2},\left|\vec{b}\right|=2$ và hai vectơ $\vec{x}=\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{y}=2\vec{a}-\vec{b}$ vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai véc tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (đơn vị độ).

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=AB=AC=a$ và $BC=a\sqrt{2}$. Khi đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC}$, $\overrightarrow{AB}$ bằng bao nhiêu độ?