Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình vuông $ABCD$ có $B(3;0;8)$, $D(-5;-4;0)$. Biết đỉnh $A$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và có tọa độ là những số nguyên, điểm $M(x;y;z)$ thuộc đường thẳng $CD$ sao cho $|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $x-y+z$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0;4;-3)$. Xét đường thẳng $d$ thay đổi, song song với trục $Oz$ và cách trục $Oz$ một khoảng bằng $3$. Khi khoảng cách từ $A$ đến $d$ lớn nhất, $d$ đi qua điểm nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$. Hai mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc với nhau, cùng chứa $d$ và cắt $\Delta$ tại $M,N$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ ngắn nhất bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}{2}$ và hai điểm $A(0;-1;-1)$, $B(-2;-1;5)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên mặt phẳng $(P):2x+2y-z-3=0$ sao cho $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$. Tìm khoảng cách lớn nhất từ $M$ tới đường thẳng $d$?

Trong không gian $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay đặt ở gốc tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục là $100$ ki-lô-mét (km). Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí $A(2;-2;1)$ và $B(8;5;7)$. Khi máy bay ở gần đài kiểm soát không lưu nhất thì khoảng cách giữa vị trí của máy bay và đài kiểm soát không lưu là bao nhiêu km (làm tròn đến hàng đơn vị) ?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{rl}x& =1+t\\ y& =-1-t\\ z& =2\end{array}$ và $d_2:\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$. Đường vuông góc chung của $d_1,d_2$ đi qua điểm nào?

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là một tam giác vuông cân tại $B$. $AB=A{A}^{\prime }=2a$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B{B}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $A{C}^{\prime }$ bằng