Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$. Ba đỉnh $A(1;2;1)$, $B(2;0;-1)$, $C(6;1;0)$ Hình thap có diện tích bằng $6\sqrt{2}$. Giả sử đỉnh $D(a;b;c)$, tính $a+b+c$?

(AI giải đề cho tôi)
Vì hình thang vuông tại A và B nên $\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{AB}$, suy ra $\overrightarrow{AD}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-2;-2)$, $\overrightarrow{BC}=(4;1;1)$, kiểm tra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=4-2-2=0$ ✓, $|\overrightarrow{AB}|=3$, $|\overrightarrow{BC}|=3\sqrt{2}$. Gọi $\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{BC}=(4t;t;t)$, khi đó $D(1+4t;2+t;1+t)$ và $AD=3\sqrt{2}t$ (lấy $t>0$). Diện tích hình thang với hai đáy $AD,BC$ và chiều cao $AB$: $S=\frac{AD+BC}{2}\cdot AB=\frac{3\sqrt{2}(t+1)}{2}\cdot 3=\frac{9\sqrt{2}(t+1)}{2}=6\sqrt{2}$, suy ra $t+1=\frac{4}{3}\Rightarrow t=\frac{1}{3}$. Khi đó $D=\left(\frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{4}{3}\right)$ (kiểm tra $\overrightarrow{CD}=\left(\frac{11}{3};-\frac{4}{3};-\frac{4}{3}\right)$ không song song $\overrightarrow{AB}$, thỏa mãn hình thang). Vậy $a+b+c=\frac{7}{3}+\frac{7}{3}+\frac{4}{3}=6$.