Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, mô tả một hệ thống theo dõi với vị trí trung tâm thiết bị theo dõi tại điểm $M$, một đơn vị trên trục bằng $100m$ ngoài thực tế. Có 4 nguồn phát sóng đặt ở các vị trí $A(2;3;0),B(0;2;-3),C(-2;0;3)$ và $D(-2;3;0)$ đều thuộc phạm vi theo dõi của điểm $M$; khi di chuyển $A;B;C;D$ sang các vị trí xa nguồn $M$ thì không bị phát hiện nữa. Một thiết bị thu sóng $N$ bay theo một quỹ đạo mà độ trễ thời gian khi nhận tín hiệu từ các điểm $A;C$ như nhau và trên các điểm $B;D$ như nhau. Biết rằng thiết bị $N$ bay từ vùng không bị theo dõi đến vùng bị theo dõi và thoát ra khỏi hệ thống theo dõi của điểm $M$. Biết rằng tốc độ bay trung bình của $N$ là $30km/h$. Hỏi thiết bị $M$ theo dõi $N$ trong bao nhiêu giây (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm $A(-2;1;5)$ và chuyển động đều theo đường cáp (giả sử là đường thẳng) có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(0;-2;6)$ với tốc độ là $4$ m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Giả sử sau $5$ (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm $M$. Gọi tọa độ $M(a;b;c)$. Tính $a+3b+c$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại vị trí của radar và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1km$. Radar phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;10)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 10 km, trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Máy bay thứ nhất ban đầu ở tọa độ $A(25;-10;1)$ và bay theo hướng vectơ $\overrightarrow{v_1}=(-3;-4;0)$ với tốc độ không đổi là 750 km/h. Máy bay thứ hai ban đầu ở tọa độ $B(30;-25;1,1)$ và bay theo hướng vectơ $\overrightarrow{v_2}=(-4;3;0)$ với tốc độ không đổi là 900 km/h. Trên máy bay thứ nhất có gắn radar tránh va chạm với bán kính hoạt động là 50 km. Hỏi thời gian máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình của radar máy bay thứ nhất là bao nhiêu phút (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt $S(0;0;30)$ và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là $A(30;0;0),B(0;30;0),C(-30;0;0),D(0;-30;0)$ (đơn vị cm). Cho biết trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn $60N$ và được phân bố thành bốn lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ có độ lớn bằng nhau như hình vẽ. Tính $\left|\overrightarrow{F_1}+3\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}-2\overrightarrow{F_4}\right|$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6630 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6370 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M(-12;29;10)$ theo phương song song với giá của vectơ $\vec{u}(-12;17;5)$. Vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm nào dưới đây?

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ nằm trên mặt nước, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt nước, trục $Oz$ hướng lên trên (đơn vị độ dài trên các trục tọa độ là mét), một con chim bói cá đang ở vị trí (có hoành độ, tung độ và cao độ là các số thực dương) cách mặt nước $2m$, cách mặt phẳng $(Oxz),(Oyz)$ lần lượt là $3m$ và $1m$ phóng thẳng xuống vị trí con cá, biết con cá ở vị trí (có hoành độ và tung độ là các số thực dương) cách mặt nước $50cm$, cách mặt phẳng $(Oxz),(Oyz)$ lần lượt là $1m$ và $1,5m$. Tọa độ điểm $B$ lúc chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước là $(a;b;c)$. Tính $T=4a+3b-25c$.