Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, biết rằng $A(-4;-5;5)$, $B(-8;-3;2)$, $D(-6;-1;1)$, $A^{\prime }(0;-9;8)$. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $C^{\prime }D$ có dạng $mx+2y+nz+p=0$. Khi đó $3m+n-2p$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):2x-y+3z-5=0$ có một véc-tơ pháp tuyến là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):8x-3y+2z+61=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, biết rằng $A(-2;-1;-5)$, $B(-5;3;-2)$, $D(-4;1;-7)$, $A^{\prime }(2;3;-3)$. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $C^{\prime }D$ có dạng $mx+8y+nz+p=0$. Khi đó $3m+2n-p$ bằng bao nhiêu?

Một xưởng cơ khí gia công một chi tiết máy bằng thép có dạng hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ (tham khảo hình vẽ bên). Biết $AB=8$ cm, $BC=12$ cm và chiều cao của lăng trụ là $A{A}^{\prime }=9$ cm. Trong quá trình lắp ráp, người thợ cần tính khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng cắt $(A^{\prime }BC)$. Tính khoảng cách đó (đơn vị cm, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một xưởng cơ khí gia công một chi tiết máy bằng thép có dạng hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ (tham khảo hình vẽ bên). Biết $AB=16$ cm, $BC=20$ cm và chiều cao của lăng trụ là $A{A}^{\prime }=25$ cm. Trong quá trình lắp ráp, người thợ cần tính khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng cắt $(A^{\prime }BC)$. Tính khoảng cách đó (đơn vị cm, kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và nhận $\vec{n}=(-4;3;0)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là