Trong không gian $Oxyz$, cho ba mặt phẳng $(P):x+y+z-1=0$, $(Q):2x+my+2z+3=0$ và $(R):-x+2y+nz=0$. Tính tổng $m+2n$, biết rằng $(P)\perp (R)$ và $(P)//(Q)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vector pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n_P}=(1;1;1)$, của $(Q)$ là $\overrightarrow{n_Q}=(2;m;2)$, của $(R)$ là $\overrightarrow{n_R}=(-1;2;n)$.

Vì $(P)\perp (R)$: $\overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_R}=-1+2+n=0\Rightarrow n=-1$.

Vì $(P)\parallel (Q)$: $\overrightarrow{n_Q}=k\overrightarrow{n_P}$, từ $2=k\cdot 1\Rightarrow k=2$, suy ra $m=2$ (kiểm tra: $2=2\cdot 1$, $2=2\cdot 1$ đúng).

Vậy $m+2n=2+2(-1)=0$, khớp với đáp án nguồn.