Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(f(x)+f(y))+xf(y)=yf(x)+f(2x)+2$$
với mọi số thực $x$ và $y$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $P(x,y)$ là mệnh đề $f(f(x)+f(y))+xf(y)=yf(x)+f(2x)+2$.

**Bước 1.** $P(x,0)$: $f(f(x)+f(0))+xf(0)=f(2x)+2$, tức $f(f(x)+f(0))=f(2x)+2-xf(0)$. (1)

$P(0,y)$: $f(f(0)+f(y))=yf(0)+f(0)+2$. (2)

Vế trái của (1) và (2) có cùng dạng $f(f(t)+f(0))$, nên so sánh với $t=x=y$:
$$f(2x)+2-xf(0)=xf(0)+f(0)+2\Rightarrow f(2x)=2xf(0)+f(0).$$
Đặt $c=f(0)$, với $t=2x$ tùy ý ta được $f(t)=c(t+1)$ với mọi $t\in \mathbb{R}$. Vậy $f$ phải có dạng $f(x)=c(x+1)$.

**Bước 2.** Thay $f(x)=c(x+1)$ vào phương trình:
- $f(f(x)+f(y))=c(c(x+1)+c(y+1)+1)=c^{2}x+c^{2}y+2c^2+c$.
- LHS $=c^{2}x+c^{2}y+2c^2+c+cxy+cx$.
- RHS $=cxy+cy+2cx+c+2$.

So sánh hệ số $xy$: $c^2=c\Rightarrow c=0$ hoặc $c=1$. Với $c=0$: LHS $=0\ne 2=$ RHS, loại. Với $c=1$: LHS $=xy+2x+y+3=$ RHS, thỏa mãn.

**Kiểm tra lại** $f(x)=x+1$: $f(f(x)+f(y))=f(x+y+2)=x+y+3$; LHS $=x+y+3+x(y+1)=xy+2x+y+3$; RHS $=y(x+1)+(2x+1)+2=xy+2x+y+3$. Đúng.

Vậy hàm số cần tìm là $f(x)=x+1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.