Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f\left(yf(x+y)+f(x)\right)=4x+2yf(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Cách 1:
Kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế $x,y$ vào phương trình (1).
$P(x,0)\Rightarrow f(f(x))=4x\forall x\in \mathbb{R}.$
Do đó $f$ là một đơn ánh trên $\mathbb{R}$.
Thế $x\to 0$ vào hệ thức trên, ta được $f(f(0))=0$. Đặt $f(0)=a$ thì $f(a)=0$.
$P(0,y)\Rightarrow f(yf(y)+f(0))=2yf(y)\forall y\in \mathbb{R}.$
Mặt khác, từ $f(f(x))=4x$, thay $x=a$ ta có:
$$f(f(a))=4a\Rightarrow f(0)=4a\Rightarrow a=4a\Rightarrow a=0$$

Nên $a=0$, tức là $f(0)=0$.
Do đó:
$$f(yf(y))=2yf(y)\forall y\in \mathbb{R}$$
Thử với $y=\frac{1}{2}$, ta được $f\left(\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}\right)\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$. Vì $f$ là đơn ánh nên:
$$\frac{1}{2}f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right)=1$$

Suy ra:
$$f(1)=f\left(f\left(\frac{1}{2}\right)\right)=4\cdot \frac{1}{2}=2$$
$P(x,1-x)\Rightarrow f\left((1-x)f(1)+f(x)\right)=4x+2(1-x)f(1)\forall x\in \mathbb{R}$
$$\Rightarrow f\left(f(x)+2(1-x)\right)=4x+4(1-x)=4\forall x\in \mathbb{R}$$

Mà $4=f(f(1))=f(2)$, do đó:
$$f\left(f(x)+2-2x\right)=f(2)\forall x\in \mathbb{R}$$

Vì $f$ là đơn ánh nên:
$$f(x)+2-2x=2\forall x\in \mathbb{R}$$
$$\text{hay }f(x)=2x\forall x\in \mathbb{R}$$
Thử lại vào phương trình (1), ta thấy hàm số này thỏa mãn.
Kết luận: Vậy tất cả các hàm số cần tìm là $f(x)=2x\forall x\in \mathbb{R}$.

Cách 2:
Để ý
$$P(x,y-x)\Rightarrow f\left((y-x)f(y)+f(x)\right)=4x+2(y-x)f(y)(\ast )$$

vì $f$ toàn ánh nên tồn tại $c$ sao cho $f(c)=2$.

Thế $y\to c$ vào $(\ast )$ ta được:

$$f((c-x)f(c)+f(x))=4x+2(c-x)f(c)$$

$$\Rightarrow f(2(c-x)+f(x))=4x+4(c-x)=4c=f(f(c))\forall x\in \mathbb{R}$$

vì $f$ đơn ánh nên

$$2(c-x)+f(x)=f(c)=2$$

$$\Rightarrow f(x)=2x+2-2c=2x+k\forall x\in \mathbb{R}\text{với k laˋ h/soˆˊ thực}$$

Thử lại, ta được $k=0$.

Kết luận: Vậy tất cả các hàm số cần tìm là $f(x)=2x\forall x\in \mathbb{R}$.