Đề Chọn Đội Tuyển HSG Quốc Gia 2026-2027 - Thái Nguyên - Môn Toán

Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}+\frac{1}{a+b+1}\ge 2\left(\frac{1}{a+5}+\frac{1}{b+5}+\frac{1}{c+5}\right).$$

Cho dãy số $(a_n)$: $\{\begin{array}{l}{a}_1=2026\\ n{a}_n=a_{n-1}+1,\forall n\ge 2\end{array}$. Xác định giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương $k$ sao cho $2026a_k<1$.

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f\left(yf(x+y)+f(x)\right)=4x+2yf(x+y),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Cho $n$ số nguyên dương đôi một phân biệt $a_1,\dots ,a_n$. Đặt
$$b_i=(a_i-a_1)\cdots (a_i-a_{i-1})(a_i-a_{i+1})\cdots (a_i-a_n).$$
Chứng minh rằng $(n-1)!$ là ước của $\mathrm{lcm}(b_1,\dots ,b_n)$, trong đó $\mathrm{lcm}(b_1,\dots ,b_n)$ là bội chung nhỏ nhất của các số nguyên $b_1,\dots ,b_n$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Đường phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt $BC$ tại $E$ và cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$. Đường tròn tâm $E$ bán kính $EM$ cắt cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O)$ và tia $MO$ tại các điểm thứ hai tương ứng là $D$ và $Q$. Lấy điểm $P$ thuộc đoạn thẳng $AD$ $(P\ne A,P\ne D)$ sao cho $\widehat{ABP}=\widehat{ACP}$.

a) Chứng minh rằng bốn điểm $A,E,Q,D$ đồng viên.

b) Gọi giao điểm của $AM$ với $BP,CP$ tương ứng là $K,L$. Chứng minh rằng $OP$ là đường trung trực của đoạn thẳng $KL$.

Cho số nguyên dương $n$ và tập hợp $A$ gồm $60n+1$ số nguyên dương không vượt quá $210n$ và nguyên tố cùng nhau với 14. Chứng minh rằng trong $A$ luôn tồn tại hai số mà một số chia hết cho ba lần số còn lại.