Tập xác định D của hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$ là:

Tập xác định D của hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$ là:

Tập xác định $D$ của hàm số $f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}$ là $D=[a;+\infty )\setminus \{b\}$. Khi đó $a.b$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(f(x)+y)+f(-x+f(f(y)))=2y,\forall x,y\in \mathbb{R}.$$
a) Chứng minh $f$ là một song ánh.
b) Tính $f(0)$ và tìm tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn phương trình hàm đã cho.

Với số thực $k$, xét các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn

$$f\left(f(x)+y\right)=kx+f\left(x+f\left(f(y)\right)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Tìm tất cả các giá trị của $k$ để tồn tại hàm số $f$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 1. (5,0 điểm)
a) Cho biết rằng đa thức $P(x)=x^3+x^2-2x-1$ có ba nghiệm thực $a>b>c$ với $c^2>a^2>b^2$. Chứng minh rằng $P(x)$ có một nghiệm bằng $a^2-2$ và $a^2-b=b^2-c=c^2-a=2$.

b) Cho các số thực phân biệt $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a^2-b=b^2-c=c^2-a$. Chứng minh rằng $(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)=-1$ và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=ab+bc+ca$.

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f(xy+f(x))+f(y)=xf(y)+f(x+y)\text{ với mọi }x,y\in \mathbb{R}.$$