Số cách xếp 5 bạn thành một hàng ngang là

Câu 4. (5,0 điểm) Bảng 21×24 (21 hàng, 24 cột) được chia thành 21×24 ô vuông đơn vị. Người ta muốn tô một số ô vuông đơn vị của bảng bởi một trong các màu: xanh, đỏ, vàng (có thể có vài ô vuông đơn vị không được tô màu) sao cho hai điều kiện (i) và (ii) dưới đây đồng thời xảy ra:

(i) Trong các ô vuông đơn vị cùng hàng với mỗi ô vuông đơn vị được tô màu, có không quá 1 ô khác màu với ô đó;

(ii) Trong các ô vuông đơn vị cùng cột với mỗi ô vuông đơn vị được tô màu, có không quá 1 ô khác màu với ô đó.

a) Gọi $x_1$, $x_2$ theo thứ tự là số hàng, số cột của bảng mà trên mỗi hàng/cột đó có ít nhất 2 ô vuông đơn vị được tô xanh; $d_1$, $d_2$ theo thứ tự là số hàng, số cột của bảng mà trên mỗi hàng/cột đó có ít nhất 2 ô vuông đơn vị được tô đỏ; $v_1$, $v_2$ theo thứ tự là số hàng, số cột của bảng mà trên mỗi hàng/cột đó có ít nhất 2 ô vuông đơn vị được tô vàng. Chứng minh rằng

$$x_1+x_2+d_1+d_2+v_1+v_2\le 45.$$

b) Gọi $x$, $d$, $v$ theo thứ tự là số ô vuông đơn vị được tô bởi các màu xanh, đỏ, vàng và đặt $m=\min \{x,d,v\}$. Tìm giá trị lớn nhất của $m$.

Một trường hè toán học gồm $3n$ (với $n\ge 2,n\in \mathbb{N}$) học sinh tham gia, trong đó hai học sinh quen nhau bất kỳ có đúng $n$ học sinh quen chung và hai học sinh không quen nhau bất kỳ có đúng $2n$ học sinh quen chung. Nếu ba học sinh đôi một quen nhau thì ta gọi là một nhóm "Bạn bè".

a) Xác định số lượng các nhóm "Bạn bè".

b) Chứng minh rằng: có thể chia $3n$ học sinh trường hè toán học trên thành ba tổ, mỗi tổ có $n$ học sinh sao cho khi lấy ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh thì ba học sinh này tạo thành một nhóm "Bạn bè".

Câu 6. (7.0 điểm)

Cho đa giác lồi 2026 đỉnh $A_1{A}_2...A_{2026}$. Tô màu tất cả các đỉnh của đa giác bởi một trong hai màu đỏ hoặc xanh, mỗi đỉnh chỉ được tô bởi một màu.

a) Tính số cách tô màu sao cho không có 2 đỉnh nào kề nhau đều được tô màu xanh.

b) Tính số cách tô màu sao cho với mọi $k\in \{1;2;...;2026\}$, trong $k$ đỉnh $A_1,A_2,...,A_k$, số đỉnh được tô màu đỏ không ít hơn số đỉnh được tô màu xanh.

Trên giá sách có 10 quyển sách Toán khác nhau, 8 quyển tiếng Anh khác nhau và 6 quyển sách Lý khác nhau. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Trong một giải cờ vua gồm các nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với mỗi vận động viên còn lại. Cho biết có 2 vận động viên nữ và cho biết số ván các vận động viên nam chơi với nhau hơn số ván hai vận động viên nữ chơi với nhau là 40. Hỏi số ván tất cả các vận động viên đã chơi?

Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 5 người ngồi vào một bàn dài?