Sau ảnh hưởng của Bão lũ vừa qua, cả vùng trồng rau, củ, quả của Xã Lục Nam bị ảnh hưởng nặng nề, toàn bộ hoa màu hỏng hết, một hộ nông dân có diện tích trồng hoa màu là $8ha$ và dự định cải tạo đất trồng nhanh chóng để trồng Củ cải và Cà rốt trên diện tích trên. Gia đình dự tính trên diện tích mỗi $ha$, nếu trồng Củ cải thì cần 20 công và thu được lãi 3 triệu đồng, nếu trồng Cà rốt thì cần 30 công và thu được lãi 5 triệu đồng. Cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu $ha$ để thu được nhiều tiền lãi nhất, biết rằng tổng số công không quá 180 . Khi này số tiền lãi thu được là bao nhiêu triệu đồng?

Một xưởng mộc sản xuất hai loại sản phẩm: bàn gỗ và ghế gỗ. Xưởng có tối đa 240 đơn vị gỗ và tổng thời gian nhân công là 100 giờ. Để làm 1 cái bàn cần 5 đơn vị gỗ và 2 giờ công. Để làm 1 cái ghế cần 2 đơn vị gỗ và 1 giờ công. Mỗi cái bàn lãi 600.000 đồng, mỗi cái ghế lãi 300.000 đồng. Lợi nhuận của xưởng mộc lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Bạn Lan dự định làm hai loại đèn trung thu, toàn bộ số tiền bán được Lan sẽ ủng hộ từ thiện. Cần 2 giờ để làm xong một chiếc lồng đèn hình ngôi sao và bán giá 95 nghìn đồng. Cần 3 giờ để làm một chiếc đèn hình con thỏ và bán giá 105 nghìn đồng. Bạn Lan có 30 giờ để làm hai loại đèn trung thu và bạn muốn làm ít nhất 12 chiếc. Giả sử số đèn trung thu Lan làm được đều bán được hết. Số tiền mà Lan ủng hộ từ thiện lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Một trang trại dự định trồng hai loại lúa: Lúa giống mới (loại $X$) và lúa truyền thống (loại $Y$) trên diện tích tối đa 10 $ha$. Chi phí chăm sóc cho mỗi $ha$ lúa $X$ là 4 triệu đồng và mỗi $ha$ lúa $Y$ là 2 triệu đồng. Tổng ngân sách không quá 30 triệu đồng. Khi bán ra thị trường mỗi $ha$ lúa $X$ lãi 10 triệu đồng, mỗi $ha$ lúa $Y$ lãi 8 triệu đồng. Gọi $x,y$ lần lượt là số $ha$ trồng lúa $X$ và lúa $Y$. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

a) Số tiền lãi của trang trại khi bán hết số lúa trồng là $L(x;y)=10x+8y$ (triệu đồng)

b) Hệ bất phương trình thoả mãn tất cả các điều kiện của bài toán là $$\{\begin{array}{l}x;y\ge 0\\ x+y\le 10\\ x+2y\le 15\end{array}$$

c) Trang trại trồng 6 $ha$ lúa $X$ và 4 $ha$ lúa $Y$ là một phương án thoả mãn cả điều kiện về diện tích trồng và ngân sách trang trại có.

d) Để thu được tiền lãi nhiều nhất, trang trại nên trồng 5 $ha$ lúa $X$ và 5 $ha$ lúa $Y$.

Một hợp tác xã dự định trồng hai loại hoa: Hoa cúc và hoa ly trên diện tích tối đa $8ha$. Chi phí đầu tư cho mỗi $ha$ hoa cúc là 10 triệu đồng và mỗi $ha$ hoa ly là 30 triệu đồng. Tổng vốn đầu tư không quá 120 triệu đồng. Khi bán ra thị trường mỗi $ha$ hoa cúc lãi 40 triệu đồng, mỗi $ha$ hoa ly lãi 100 triệu đồng. Gọi $x,y$ lần lượt là số $ha$ trồng hoa cúc và hoa ly. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

a) Số tiền lãi của hợp tác xã khi bán hết số hoa trồng được là $L(x;y)=100x+40y$ (triệu đồng)

b) Hệ bất phương trình thoả mãn tất cả các điều kiện của bài toán là $\{\begin{array}{l}x;y\ge 0\\ x+y\le 8\\ x+3y\le 12\end{array}$

c) Phương án Hợp tác xã trồng $4ha$ hoa cúc và $3ha$ hoa ly không thoả mãn điều kiện của bài toán.

d) Để đạt lợi nhuận lớn nhất, hợp tác xã nên trồng toàn bộ $8ha$ hoa ly.

Bác An dự định trồng dưa lê và dưa vàng trên đất nông nghiệp. Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng dưa lê thì cần 20 công và thu được tiền lãi là 30 triệu đồng, nếu trồng dưa vàng thì cần 30 công và thu được tiền lãi là 40 triệu đồng. Nếu bác An có 8 ha đất nông nghiệp và tối đa 180 công thợ thì bác An có thể lãi được nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng?

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F=x-3y+1$ trên miền xác định bởi hệ $\{\begin{array}{l}2x-y\le 4\\ y-x\le 1\\ x+y\ge 2\end{array}$.