Phủ định của mệnh đề “$\forall x\in \mathbb{R},x^2+x+2>0$” là

Phủ định của mệnh đề “$\forall x\in \mathbb{R},x^2+x+2>0$” là

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

Với giá trị nào của $x$ thì "$x^2-1=0$, $x\in \mathbb{N}$" là mệnh đề đúng?

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào không phải là mệnh đề?

Câu 3 (5.0 điểm). Một số nguyên dương $n$ gọi là “hoàn hảo” nếu tổng tất cả các ước dương của $n$ gấp đôi nó.

a) Chứng minh rằng số nguyên dương chẵn $n$ là số “hoàn hảo” khi và chỉ khi $n$ có dạng $n=2^{p-1}(2^p-1)$ với $p$ và $2^p-1$ là số nguyên tố.

b) Chứng minh rằng không thể có số nguyên dương lẻ $n$ nào “hoàn hảo” mà có đúng 3 ước nguyên tố phân biệt.

Câu 3 (7.0 điểm). Cho đa thức hệ số nguyên $P(x)$ và số nguyên tố $p$, ta nói $P(x)$ là $p$-tốt nếu mọi số nguyên có thể thu được từ 0 sau hữu hạn các phép thay sau: thay $a$ bởi $P(a)$, hoặc thay $a$ bởi số nguyên $b$ (nếu tồn tại) sao cho $P(b)\equiv a(\mathrm{mod}p)$.

a) Hỏi có bao nhiêu đa thức 3-tốt có bậc 99 và mọi hệ số thuộc $\{1;2;\dots ;99\}$?

b) Chứng minh rằng với mọi đa thức hệ số nguyên $P(x)$ có bậc 2, tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ sao cho $P(x)$ không là $p$-tốt.