Người ta xây một chiếc cổng vào khu công nghiệp có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng $8m$. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao $MN=12m$ so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất. Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng $A$ một đoạn $AN=2m$. Độ cao của cổng là:

Vì mật độ giao thông qua ngã tư An Sương, Quận 12, TP. Hồ Chí Minh rất cao, thường xuyên xảy ra tình trạng kẹt xe nên người ta xây một cây cầu vượt giao thông ngã tư này có hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là $248m$ (hình 1). Độ dốc $\alpha$ của mặt cầu không vượt quá $6°30^{\prime }$ (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như hình 2). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).



Hình 1. Cầu vượt ngã tư An Sương



Hình 2

Một tên lửa được bắn ra từ một bệ phóng tên lửa đặt tại vị trí $A$ đến vị trí $B$. Thông qua ra-đa, người ta thấy sau khi ra khỏi bệ phóng được 10 giây, 20 giây, 30 giây, quãng đường đi được của tên lửa lần lượt là 41 m ; 84 m và 129 m. Biết rằng quãng đường đi của tên lửa được biểu diễn dưới dạng một đa thức bậc hai và khi tên lửa đến vị trí $B$ thì quãng đường đi của tên lửa là 144km. Sau bao lâu kể từ khi ra khỏi bệ phóng tên lửa đến vị trí $B$?

Một trang trại rau sạch ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoạch được 1 tấn rau. Mỗi ngày, nếu giá bán rau là 30000 đồng/kg thì bán hết rau, nếu giá bán rau tăng 1000 đồng/kg thì số rau thừa tăng 20 kg. Số rau thừa này được thu mua hết để làm thức ăn chăn nuôi với giá 2000 đồng/kg. Hỏi để mỗi ngày thu được số tiền bán rau lớn nhất thì trang trại đó nên bán rau với giá bao nhiêu nghìn đồng?

Một trang trại rau sạch ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoạch được 1 tấn rau. Mỗi ngày, nếu giá bán rau là 30000 đồng/kg thì bán hết rau, nếu giá bán rau tăng 1000 đồng/kg thì số rau thừa tăng 20 kg. Số rau thừa này được thu mua hết để làm thức ăn chăn nuôi với giá 2000 đồng/kg. Hỏi để mỗi ngày thu được số tiền bán rau lớn nhất thì trang trại đó nên bán rau với giá bao nhiêu nghìn đồng?

Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm $T$ được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu cho thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm $T$ là $x$ (nghìn đồng) $(3000<x<5000)$ thì số sản phẩm mà doanh nghiệp sản xuất sẽ là $R(x)=x-500$ và số sản phẩm mà doanh nghiệp bán trên thị trường trong nước sẽ là $Q(x)=5500-x$. Số sản phẩm còn lại, doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là $x_0=5000$ (nghìn đồng). Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là $y$ (nghìn đồng) sao cho trên mỗi đơn vị sản phẩm xuất khẩu, tiền lãi luôn gấp 4 lần tiền thuế của nhà nước.

Để doanh thu cao nhất trong mùa hè năm 2024, Ban quản lý bể bơi Trung tâm văn hóa Huyện Châu Đức tiến hành thăm dò dư luận. Qua thăm dò dư luận cho thấy số khách đến bơi thay đổi phụ thuộc vào giá vé $x$ theo hàm cầu là: $y(x)=-\frac{1}{50}x+1300$, với $x$ giá mỗi vé bơi đơn vị đồng. Tính doanh thu cao nhất của bể bơi đó.