Nếu ${\int }_2^6(f(x)-2)\mathrm{d}x=-2$ thì ${\int }_1^{3}f(2x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho ${\int }_0^{6}f(x)\mathrm{d}x=18$. Khi đó ${\int }_0^{2}f(3x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ ($a<b$). Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f(x)$, $y=0$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ được tính theo công thức

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[2;7]$. Biết $f(2)=5$ và ${\int }_2^7{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=14$. Giá trị $f(7)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$. Khi ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=3$ thì giá trị của ${\int }_0^1[2f(x)+1]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$. Biết $F(x)$, $G(x)$ lần lượt là các nguyên hàm của các hàm số $f(x)$ và $f(x)+1$ thỏa mãn $G(3)-F(3)=4$. Tính tích phân $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}[G(x)-F(x)]\sin x\mathrm{d}x$.

Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị không âm, có đạo hàm liên tục trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$ và thỏa mãn điều kiện $f(x)=2{\int }_0^{x}t[f(t)+1]\mathrm{d}t,x\in \mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=xf(x)$, $y=f^{\prime }(x)$, $x=1$ bằng