Một cái cây đang có chim mẹ và chim con đang đậu. Ta thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$, với $O$ là gốc cây, hai trục $Ox$, $Oy$ nằm trên mặt đất và trục $Oz$ trùng với thân cây, đơn vị trên mỗi trục dài $1m$. Khi đó chim mẹ nằm trên mặt phẳng $(Oyz)$, cách trục $Oy$ và $Oz$ một khoảng lần lượt là $10m$ và $3m$; chim con ở vị trí có tọa độ $(-1;-2;4)$ (như hình vẽ bên dưới). Trên mặt đất có hai con giun đang nằm im ở vị trí có hoành độ đều bằng 3 và tung độ lần lượt là $-1$ và 6. Chim mẹ cần bắt một con giun để mang đến cho chim con ăn, hỏi quãng đường ngắn nhất chim mẹ có thể đi được là bao nhiêu mét? (làm tròn tới chữ số thập phân thứ nhất).

Thiên thạch với kích thước chỉ 30 cm đến 40 cm đến từ vùng không gian giữa các hành tinh, khi xuyên vào khí quyển Trái Đất ở độ cao 150 km so với mực nước biển, tạo ra vùng không khí bốc cháy quanh nó rộng vài trăm mét gây nên hiện tượng sao băng. Xem Trái Đất là khối cầu có bán kính 6 400 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) được phát hiện ở vị trí điểm $M(4,29;7;0)$ và đang chuyển động thẳng với tốc độ không đổi 960 km/phút đến tâm Trái Đất. Xác định thời điểm (đơn vị phút) thiên thạch bị bốc cháy kể từ lúc phát hiện (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian với một hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị độ lấy theo kilomet), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $A(800;500;7)$ đến điểm $B(940;550;8)$ trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau 5 phút tiếp theo, khoảng cách từ máy bay đến gốc tọa độ $O$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kí sư dự định trồng bốn chiếc cột cao $30$ m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là $1$ m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm $M(90;0;30)$, $N(90;120;30)$, $P(0;120;30)$, $Q(0;0;30)$. Giả sử $K_0$ là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và $K_{0}M=K_{0}N=K_{0}P=K_{0}Q$. Để theo dõi quả bóng đến vị trí A, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm $K_1$ cao độ bằng 19. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{K_0{K}_1}=(a;b;c)$ với a,b,c là các số thực. Tính P = a + b − c?

Có hai con tàu $A,B$ xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-mét), tại thời điểm $t$ (giờ), vị trí của tàu $A$ có tọa độ được xác định bởi công thức $$\{\begin{array}{l}x=3-33t\\ y=-4+25t\end{array},$$ vị trí tàu $B$ có tọa độ là $\left(4-30t;3-40t\right)$. Sau bao nhiêu giờ kể từ thời điểm xuất phát, hai tàu gần nhau nhất (kết quả làm tròn đến hai chữ số ở hàng thập phân).

Câu 4. Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 100 m sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 600 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình bên) (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét).



Một máy bay tại vị trí $F$ cách mặt đất 12 km, cách 400 km về phía tây và 300 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Từ vị trí $F$, máy bay bay với tốc độ $900km/h$, theo hướng của vecto $\vec{a}(3;4;0)$ sau một giờ đến vị trí $A$.

Các khẳng định sau đúng hay sai?

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 100 m sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 600 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên phía trên (Hình bên) (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét).



Một máy bay tại vị trí $F$ cách mặt đất 12 km, cách 400 km về phía tây và 300 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Từ vị trí $F$, máy bay bay với tốc độ $900km/h$, theo hướng của vecto $\vec{a}(3;4;0)$ sau một giờ đến vị trí $A$.

Các khẳng định sau đúng hay sai?