Giải các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{array}{l}{\log }_{2}x+{\log }_{4}y+{\log }_{4}z=2\\ {\log }_{3}y+{\log }_{9}z+{\log }_{9}x=2\\ {\log }_{4}z+{\log }_{16}x+{\log }_{16}y=2\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}x{\log }_{2}3+{\log }_{2}y=y+{\log }_2\frac{3x}{2}\\ x{\log }_{3}12+{\log }_{3}x=y+{\log }_3\frac{2y}{3}\end{array}$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3a) Đặt $a={\log }_{2}x$, $b={\log }_{2}y$, $c={\log }_{2}z$ (điều kiện $x,y,z>0$). Vì ${\log }_{4}t=\frac{1}{2}{\log }_{2}t$, ${\log }_{16}t=\frac{1}{4}{\log }_{2}t$, hệ trở thành:
$$\{\begin{array}{l}a+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=2\\ \frac{a}{2}+b+\frac{c}{2}=2\\ \frac{a}{2}+\frac{b}{2}+c=2\end{array}$$
Tức là $2a+b+c=4$, $a+2b+c=4$, $a+b+2c=4$. Lấy hiệu từng cặp phương trình suy ra $a=b=c$; thay vào: $4a=4\Rightarrow a=1$. Vậy $x=y=z=2$. Thử lại: ${\log }_{2}2+{\log }_{4}4+{\log }_{4}4=1+1+1=3$... kiểm tra: ${\log }_{4}y={\log }_{4}2=\frac{1}{2}$, nên $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2$ ✓; tương tự hai phương trình còn lại thỏa.

Bài 3b) Điều kiện $x>0$, $y>0$.
Phương trình (1): ${\log }_2(3^x)+{\log }_{2}y=y+{\log }_2\frac{3x}{2}\Rightarrow {\log }_2(3^{x}y)={\log }_2\left(2^{y-1}\cdot 3x\right)$
$$\Rightarrow 3^{x-1}y=x{2}^{y-1}.(1^{\prime })$$
Phương trình (2): ${\log }_3(12^x)+{\log }_{3}x=y+{\log }_3\frac{2y}{3}\Rightarrow x\cdot 12^x=2y\cdot 3^{y-1}.(2^{\prime })$
Từ $(1^{\prime })$: $x=\frac{3^{x-1}y}{2^{y-1}}$. Thay vào $(2^{\prime })$:
$$\frac{3^{x-1}y}{2^{y-1}}\cdot 2^{2x}{3}^x=2y\cdot 3^{y-1}\Rightarrow 2^{2x}\cdot 3^{2x-1}=2^y\cdot 3^{y-1}.$$
Do $2,3$ là hai số nguyên tố nên $y=2x$ và $2x-1=y-1$ (hai điều kiện này tương thích). Vậy $y=2x$; thay vào $(1^{\prime })$:
$$3^{x-1}\cdot 2x=x\cdot 2^{2x-1}\Rightarrow 3^{x-1}=4^{x-1}\Rightarrow {\left(\frac{3}{4}\right)}^{x-1}=1\Rightarrow x=1.$$
Suy ra $y=2$. Thử lại: (1): ${\log }_{2}3+1=2+{\log }_2\frac{3}{2}=1+{\log }_{2}3$ ✓; (2): ${\log }_{3}12=2+{\log }_3\frac{4}{3}=1+{\log }_{3}4={\log }_{3}12$ ✓.

Kết luận: a) $(x,y,z)=(2,2,2)$; b) $(x,y)=(1,2)$.