Giả sử $a,b,c$ là ba trong bốn nghiệm của đa thức
$$f(x)=x^4-4x^3+2x^2+4x-2.$$
a) Chứng minh rằng $abc$ là nghiệm của đa thức $g(x)=x^4+4x^3-4x^2-16x-8$.
b) Chứng minh rằng $ab$ là nghiệm của đa thức
$$h(x)=x^6-2x^5-14x^4+8x^3+28x^2-8x-8.$$

Lời giải (Lim Olympic - Lào Cai TST - P1):
Gọi $a,b,c,d$ là bốn nghiệm của đa thức $f(x)=x^4-4x^3+2x^2+4x-2$. Theo định lý Viète, ta có
$$a+b+c+d=4,$$
$$ab+ac+ad+bc+bd+cd=2,$$
$$abc+abd+acd+bcd=-4,$$
$$abcd=-2.$$

a) Vì $abcd=-2$ nên $d\ne 0$ và $abc=-\frac{2}{d}$. Ta có
$$g(abc)=g\left(-\frac{2}{d}\right)=\frac{16}{d^4}-\frac{32}{d^3}-\frac{16}{d^2}+\frac{32}{d}-8=-\frac{8}{d^4}\left(d^4-4d^3+2d^2+4d-2\right)=-\frac{8}{d^4}f(d)=0.$$
Do đó $abc$ là một nghiệm của $g(x)=x^4+4x^3-4x^2-16x-8$.

b) Đặt $y=ab$. Vì $abcd=-2$ nên $y\ne 0$ và $cd=-\frac{2}{y}$.
Đặt $S_1=a+b$ và $S_2=c+d$ thì $S_1+S_2=4$, do đó $S_2=4-S_1$.
Mặt khác $ab+cd+(a+b)(c+d)=2$ nên $y-\frac{2}{y}+S_1{S}_2=2$.
Đồng thời $ab(c+d)+cd(a+b)=-4$ nên $y{S}_2-\frac{2}{y}{S}_1=-4$.
Thay $S_2=4-S_1$ ta được
$$y(4-S_1)-\frac{2}{y}{S}_1=-4⟺S_1\left(y+\frac{2}{y}\right)=4y+4.$$
Suy ra $S_1=\frac{4y(y+1)}{y^2+2}$. Thay $S_2=4-S_1$ vào $y-\frac{2}{y}+S_1{S}_2=2$ ta có $S_1^2-4S_1+2-y+\frac{2}{y}=0$ hay
$${\left(\frac{4y(y+1)}{y^2+2}\right)}^2-4\left(\frac{4y(y+1)}{y^2+2}\right)+2-y+\frac{2}{y}=0.$$
$$⟺16y^3(y+1{)}^2-16y^2(y+1)(y^2+2)+(-y^2+2y+2)(y^2+2{)}^2=0.$$
$$⟺-y^6+2y^5+14y^4-8y^3-28y^2+8y+8=0,$$
$$⟺y^6-2y^5-14y^4+8y^3+28y^2-8y-8=0.$$
Do đó $h(y)=0$. Vì $y=ab$, suy ra $ab$ là một nghiệm của
$$h(x)=x^6-2x^5-14x^4+8x^3+28x^2-8x-8.$$