Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $\frac{{\log }_2(x-3)-1}{\sqrt{2^x-m}}<0$ có nghiệm?

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $\frac{{\log }_2(x-3)-1}{\sqrt{2^x-m}}<0$ có nghiệm khi mẫu khác 0 và tử, mẫu trái dấu. Mẫu $\sqrt{2^x-m}>0$ khi $2^x>m$; khi đó để biểu thức âm cần tử âm: ${\log }_2(x-3)-1<0\iff 0<x-3<2\iff 3<x<5$. Vậy cần tồn tại $x\in (3;5)$ sao cho $2^x>m$, tức $m<{\sup }_{x\in (3;5)}{2}^x=2^5=32$ (giá trị 32 không đạt được vì khoảng mở). Điều kiện: $m<32$. Các giá trị nguyên dương: $m\in \{1,2,\dots ,31\}$, gồm 31 giá trị. Kiểm tra: với $m=31$, chọn $x$ gần 5 (ví dụ $x=4,99$) thì $2^x>31$ và $3<x<5$, bất phương trình có nghiệm; với $m=32$, cần $2^x>32$ tức $x>5$, mâu thuẫn với $x<5$, vô nghiệm.