Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;3;2)$, $B(1;6;6)$, $C(5;3;5)$, $D(10;19;-10)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{ID}$ suy ra $4\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=(1+1+5-10;3+6+3-19;2+6+5+10)=(-3;-7;23)$, nên $I\left(-\frac{3}{2};-\frac{7}{2};\frac{23}{2}\right)$: ĐÚNG.
b) $\overrightarrow{AB}=(0;3;4)$, $\overrightarrow{AC}=(4;0;3)$, $\overrightarrow{BC}=(4;-3;-1)$. Các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=12\ne 0$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-13\ne 0$, $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=13\ne 0$, không có cặp cạnh vuông góc; tam giác $ABC$ không vuông: SAI.
c) $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=5$, $\cos BAC=\frac{12}{5\cdot 5}=\frac{12}{25}$: ĐÚNG.
d) $\overrightarrow{AD}=(9;16;-12)$; $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=48-48=0$, $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=36-36=0$, nên $AD\perp (ABC)$: ĐÚNG.
a) Từ $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{ID}$ suy ra $4\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=(1+1+5-10;3+6+3-19;2+6+5+10)=(-3;-7;23)$, nên $I\left(-\frac{3}{2};-\frac{7}{2};\frac{23}{2}\right)$. Phát biểu a) ĐÚNG.
b) $\overrightarrow{AB}=(0;3;4)$, $\overrightarrow{AC}=(4;0;3)$, $\overrightarrow{BC}=(4;-3;-1)$. Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0+0+12=12\ne 0$; $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0-9-4=-13\ne 0$; $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=16+0-3=13\ne 0$. Vậy không có cặp cạnh nào vuông góc, tam giác $ABC$ không vuông. Phát biểu b) SAI.
c) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=12$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{0^2+3^2+4^2}=5$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4^2+0^2+3^2}=5$. Suy ra $\cos BAC=\frac{12}{5\cdot 5}=\frac{12}{25}$. Phát biểu c) ĐÚNG.
d) $\overrightarrow{AD}=(9;16;-12)$. Ta có $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}=0\cdot 9+3\cdot 16+4\cdot (-12)=48-48=0$ và $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=4\cdot 9+0\cdot 16+3\cdot (-12)=36-36=0$. Vậy $AD\perp AB$ và $AD\perp AC$, suy ra $AD\perp (ABC)$. Phát biểu d) ĐÚNG.