Cho $\sin x=-\frac{3}{5}\left(\pi <x<\frac{3\pi }{2}\right)$. Biết giá trị $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{a\sqrt{3}+b}{10}$; $(a,b\in \mathbb{Z})$. Tính $a+2b$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$ nên $x$ thuộc góc phần ba, do đó $\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$.

Áp dụng công thức hiệu hai góc:
$$\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{6}-\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{-3\sqrt{3}+4}{10}.$$

So sánh với $\frac{a\sqrt{3}+b}{10}$ ta được $a=-3$, $b=4$, suy ra $a+2b=-3+8=5$. Kết quả khớp với đáp án đề 102, Phần III Câu 2 = 5.