Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,P$ là trung điểm của $AB$ và $CD$. Đặt $\overrightarrow{BA}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong một gian triển lãm nghệ thuật, người ta thiết kế một không gian hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có kích thước $AD=20\text{ m}$, $AB=10\text{ m}$, $A{A}^{\prime }=5\text{ m}$ và được gắn vào hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho gốc tọa độ $O$ trùng với điểm $A$, tia $Ox$ chứa điểm $D$, tia $Oy$ chứa điểm $B$, tia $Oz$ chứa điểm $A^{\prime }$ như hình vẽ. Đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.

Người ta căng hai sợi dây cáp phát sáng vào hai đường chéo của hình hộp là $A^{\prime }C$ và $B{D}^{\prime }$. Giá sợi dây cáp là $100$ nghìn đồng/mét.

Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $M(3;1;-1)$ trên trục $Oy$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$ cho $\vec{a}=(2;3;2)$ và $\vec{b}=(1;1;-1)$. Vectơ $\vec{a}-\vec{b}$ có tọa độ là

Xét hai số phức $z_1$ và $z_2$ thỏa mãn $|z_1|=3;|z_2|=2$ và $|z_1-z_2|=\sqrt{13}$. Giá trị nhỏ nhất của $|z_1+2z_2+3i|$ bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $1$ với hệ trục tọa độ như hình vẽ bên dưới.

Xác định tọa độ điểm $C^{\prime }$

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{C^{\prime }D}$ bằng