Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=4$, $CD=6$. Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với $AB$, $CD$ để thiết diện thu được là một hình thoi. Tính cạnh của hình thoi đó.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA$ và $SC$. Điểm $N$ thuộc cạnh $SB$ sao cho $\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$. Gọi $Q$ là giao điểm của cạnh $SD$ và mặt phẳng $(MNP)$. Tỷ số $\frac{SQ}{SD}=\frac{a}{5}$.

Phần trong của một bể nước được xây có dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao $4m$ như hình bên. Bác An lấy một thanh thước thẳng đủ dài cắm vào bể sao cho một đầu chạm đáy bể và đầu thước tựa vào mép dưới của thành miệng bể, đánh dấu điểm tựa. Sau đó rút thước lên, bác đo được độ dài của phần thước chìm trong nước là $3m$ và độ dài của phần thước từ điểm đánh dấu đến điểm không bị ướt nước là $2m$. Tính mực nước còn lại trong bể.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $AD\parallel BC$. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$. Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(MBC)$. Tính tỉ số $\frac{MN}{AD}$.

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$, điểm $M$, $H$ lần lượt thuộc cạnh $CD$, $AD$ sao cho $DM=2MC$ và $DH=2HA$. Gọi $E$ là giao điểm $DG$ cắt $BH$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $E$ song song $(ABC)$ cắt $BM$ tại $F$. Tính độ dài đoạn thẳng $EF$ theo $a$?

Cho tứ diện đều $MNPQ$ cạnh $2a$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNQ$, điểm $H$, $K$ lần lượt thuộc cạnh $PQ$, $MQ$ sao cho $QH=2HP$ và $QK=2KM$. Gọi $I$ là giao điểm $QG$ cắt $NK$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $I$ song song $(MNP)$ cắt $NH$ tại $J$. Tính độ dài đoạn thẳng $IJ$ theo $a$?

Câu 5. (2,5 điểm) Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, điểm $C^{\prime }$ di động trên cạnh $SC$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $A{C}^{\prime }$ và song song với đường thẳng $DB$, mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SB$, $SD$ lần lượt tại $B^{\prime }$, $D^{\prime }$.
a) Chứng minh rằng: $\frac{2SB}{S{B}^{\prime }}-\frac{SC}{S{C}^{\prime }}=1$
b) Xác định vị trí của điểm $C^{\prime }$ trên cạnh $SC$ sao cho: $\frac{2B{B}^{\prime }}{S{B}^{\prime }}+\frac{3S{D}^{\prime }}{D{D}^{\prime }}+\frac{10S{C}^{\prime }}{C{C}^{\prime }}$ đạt giá trị nhỏ nhất.