Cho tích phân ${\int }_1^2\left(\frac{x^2+1}{x}\right)\mathrm{d}x=\ln a+\frac{b}{c}$, biết $a,b,c$ là số nguyên. Tính tổng $a+b+c$.

Tích phân ${\int }_1^2(x^2+1)dx$ bằng

Cho ${\int }_0^{2}f(x)dx=4$ và ${\int }_0^{2}g(x)dx=3$ thì ${\int }_0^2[3f(x)-2g(x)]dx$ bằng

Biết $F(x)=\sin 2x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}[2+f(x)]dx$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ như hình vẽ:

Giá trị của biểu thức ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{f}^{\prime }(4\sin x-2)\cos xdx+\frac{1}{4}{\int }_0^2{f}^{\prime }(x+2)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+1$ ($a\ne 0;a,b\in \mathbb{R}$) mà đồ thị hàm số $f^{\prime \prime }(x)$ và đồ thị hàm số $f(x)$ có một điểm chung duy nhất và nằm trên trục $Oy$ (hình vẽ), trong đó $\pm x_1$ là nghiệm của $f(x)$ và $\pm x_2$ là nghiệm của $f^{\prime \prime }(x)$, ($x_1,x_2>0$). Biết $x_1=3x_2$, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $f(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$ và trục $Ox$.

Tính tích phân $I={\int }_0^{\ln 2}\frac{e^x}{e^x+1}\text{d}x$ bằng cách đặt $t=e^x+1$ ta được: