Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$, $AB=10$. Biết đường thẳng $BC$ có phương trình $BC:7x-y+31=0$ và trung điểm $I$ của $AB$ thuộc đường thẳng $d_2:x+y+2=0$. Tìm tọa độ $A,C,B$ biết $I$ có tung độ âm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I=(a;b)$ với $a+b+2=0\Rightarrow b=-a-2$, và $b<0$.

Vì tam giác vuông cân tại $C$ nên $CI$ là trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác: $CI\perp AB$, $CI=\frac{AB}{2}=5$, và $I$ là trung điểm $AB$ nên $A=I-5\vec{u}$, $B=I+5\vec{u}$ với $\vec{u}=(p;q)$, $p^2+q^2=1$.

Gọi $\vec{v}=\overrightarrow{IC}$, $|\vec{v}|=5$, $\vec{u}\perp \vec{v}$. Các điều kiện:
- $B\in BC$: $(5\vec{u}-\vec{v})\cdot (-7;1)=0$.
- $AC\perp BC$ (với ${\vec{n}}_{BC}=(1;7)$): $(A-C)\cdot (1;7)=(-5\vec{u}-\vec{v})\cdot (1;7)=0$.

Giải hệ với $\vec{u}\perp \vec{v}$ ta được $\frac{q}{p}=-\frac{4}{3}$ và $\vec{v}=\pm (4;3)$.

Thử các dấu: với $\vec{u}=\left(\frac{3}{5};-\frac{4}{5}\right)$ luôn được $a=-\frac{29}{4}\Rightarrow y_I=\frac{21}{4}>0$ (loại). Với $\vec{u}=\left(-\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right)$, $\vec{v}=(-4;-3)$: $B=(a-3;-a+2)$ thuộc $BC$: $7(a-3)-(-a+2)+31=0\Rightarrow 8a+8=0\Rightarrow a=-1$, khi đó $y_I=-1<0$ thỏa mãn; $C=I+\vec{v}=(-5;-4)$ kiểm tra $7(-5)-(-4)+31=0$ đúng.

Vậy $I(-1;-1)$, $\vec{u}=\left(-\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right)$:
$$A=I-5\vec{u}=(2;-5),B=I+5\vec{u}=(-4;3),C=(-5;-4).$$

Kiểm tra: $B\in BC:7(-4)-3+31=0$ đúng; $\overrightarrow{CA}=(7;-1)\perp {\vec{n}}_{BC}$ đúng; $\overrightarrow{CA}=(7;-1),\overrightarrow{CB}=(1;7)$ nên $\overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{CB}$ và $|CA|=|CB|=\sqrt{50}$ (vuông cân tại $C$); $|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=10$; $I$ là trung điểm $AB$, $I\in d_2$: $-1-1+2=0$, tung độ $I=-1<0$. Mọi điều kiện thỏa mãn, nghiệm duy nhất.