Cho tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm của tam giác. Biểu thức nào sau đây đúng?

Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$, $M$ là trung điểm của $BC$.

Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ trên cạnh $BC$ thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Tỉ số $\frac{MB}{MC}$ bằng bao nhiêu?

Cho hình bình hành $ABCD$ có $DA=4$, $DC=5$, $\widehat{ADC}=60^{\circ }$.

a) Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AC}$.

b) Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$.

c) Điểm $M$ thuộc đường chéo $AC$, $M$ không trùng với các đỉnh $A,C$. Trên các cạnh $AB$ và $BC$ lần lượt lấy các điểm $P,Q$ sao cho $MP$ song song với $BC$, $MQ$ song song với $AB$. Gọi $N$ là giao điểm của $AQ$ và $CP$. Giả sử $\overrightarrow{DN}=m\overrightarrow{DA}+n\overrightarrow{DC}$. Tìm giá trị lớn nhất của $m+n$.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $AB=2,AC=3$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$ và $M$ là một điểm trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Các phát biểu sau đúng hay sai?
a) Hai vectơ $\overrightarrow{BI},\overrightarrow{AB}$ cùng phương với nhau.
b) $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right|=2\sqrt{5}$.
c) Giá trị của biểu thức $P=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}$ bằng $\frac{28}{9}$.
d) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ là $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $I$ là điểm sao cho $B$ là trung điểm của $AI$ và $J$ là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AJ=\frac{2}{5}AC$. a) Chứng minh $\overrightarrow{IJ}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$. b) Biểu diễn $\overrightarrow{IG}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $NPM$ khi và chỉ khi