Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba trung tuyến kẻ từ $A$, $B$, $C$ lần lượt bằng 15, 18, 27.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $m_a=15,m_b=18,m_c=27$ là ba trung tuyến. Công thức đổi trung tuyến ra cạnh: $a^2=\frac{4}{9}(2m_b^2+2m_c^2-m_a^2)$, v.v.
- $a^2=\frac{4}{9}(2\cdot 324+2\cdot 729-225)=\frac{4}{9}\cdot 1881=836\Rightarrow BC=2\sqrt{209}$.
- $b^2=\frac{4}{9}(2\cdot 225+2\cdot 729-324)=\frac{4}{9}\cdot 1584=704\Rightarrow AC=8\sqrt{11}$.
- $c^2=\frac{4}{9}(2\cdot 225+2\cdot 324-729)=\frac{4}{9}\cdot 369=164\Rightarrow AB=2\sqrt{41}$.

a) Định lí cosin tại đỉnh $A$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos A$, không phải $\cos \hat{B}$ → sai.

b) $BC=\sqrt{836}=2\sqrt{209}$ → đúng.

c) $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{704+164-836}{2\cdot 8\sqrt{11}\cdot 2\sqrt{41}}=\frac{32}{32\sqrt{451}}=\frac{1}{\sqrt{451}}$, nên $\sin A=\sqrt{1-\frac{1}{451}}=\frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{451}}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{11}\cdot 2\sqrt{41}\cdot \frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{451}}=8\sqrt{451}\cdot \frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{451}}=120\sqrt{2}$ → đúng.

d) $H$ là trọng tâm nên $H$ nằm trên trung tuyến $AI$; $D$ đối xứng với $H$ qua $I$ nên $D$ cũng nằm trên đường thẳng $AI$. Suy ra $A,H,D$ thẳng hàng, diện tích tam giác $AHD$ bằng $0$, không phải $60\sqrt{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \hat{A}$ (góc xen giữa hai cạnh $AB,AC$ là góc $A$, không phải góc $B$).
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=\frac{4}{9}(2m_b^2+2m_c^2-m_a^2)=\frac{4}{9}(648+1458-225)=836\Rightarrow BC=2\sqrt{209}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $AC=8\sqrt{11},AB=2\sqrt{41}$, ta có $\cos A=\frac{1}{\sqrt{451}}$, $\sin A=\frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{451}}$, $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=120\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $H$ nằm trên trung tuyến $AI$, và $D$ đối xứng với $H$ qua $I$ cũng nằm trên đường thẳng $AI$. Ba điểm $A,H,D$ thẳng hàng nên diện tích tam giác $AHD$ bằng $0$, không phải $60\sqrt{2}$.