Cho tam giác $ABC$, có độ dài ba cạnh là $BC=a,AC=b,AB=c$. Gọi $R,r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho tam giác $ABC$ có $BC=10$, $\hat{A}=30^{\circ }$. Tính bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC<BC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Ba đường cao $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại trực tâm $H$.
a) Gọi $A_0,B_0,C_0$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Gọi $X$ là giao điểm của hai đường thẳng $B_{0}O$ và $C_0{A}_0$, $Y$ là giao điểm của hai đường thẳng $C_{0}O$ và $A_0{B}_0$. Hai đường thẳng $XY$ và $B_0{C}_0$ cắt nhau tại điểm $Z$. Chứng minh đường thẳng $A_{0}H$ vuông góc với đường thẳng $A_{0}Z$.
b) Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $B{B}_1,C{C}_1$. Chứng minh đường thẳng $MN$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A_{1}HK$.

Để đo chiều rộng của một con đường mà không gây cản trở giao thông cán bộ đo đạc đứng ở 2 địa điểm $M$, $N$ cách nhau 12 mét ở cùng một bên đường quan sát địa điểm $P$ ở bên kia đường (xem hình vẽ minh họa). Kết quả đo đạc như sau: $\widehat{NMP}=65^{\circ }$, $\widehat{MNP}=79^{\circ }$. Tính chiều rộng của con đường (kết quả lấy gần đúng đến hàng phần chục).

Một người đi dọc bờ sông là một đường thẳng từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ và quan sát một con thuyền $C$ đang neo đậu trên sông. Người đó tiến hành đo đạc và thu được kết quả: $AB=30m,\widehat{CAB}=60^{\circ },\widehat{CBA}=50^{\circ }$. Hỏi con thuyền cách bờ sông bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Cho tam giác $ABC$, có các cạnh bằng $a,b,c$ và các góc $A,B,C$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho tam giác $ABC$ có các cạnh bằng $a,b,c$ và các góc $A,B,C$. $\hat{B}=135^{\circ }$. Khẳng định nào sau đây là đúng?