Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,AC=b,AB=c$ thỏa mãn $b+2c=2a$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Từ $b+2c=2a$ và định lý sin $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, ta có $2\sin A=\sin B+2\sin C$ (nhân $b+2c=2a$ với $\frac{1}{2R}$), nên a) Đúng. b) Vì $h_a=\frac{2S}{a},h_b=\frac{2S}{b},h_c=\frac{2S}{c}$ nên $\frac{2}{h_a}=\frac{a}{S}$ và $\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{b+c}{2S}$. Nếu đẳng thức đúng thì $2a=b+c$, mâu thuẫn với $2a=b+2c$ (vì $c>0$), nên b) Sai. c) $\frac{a}{\sin A}=2R$ là định lý sin, Đúng. d) Định lý cosin cho góc $A$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{BAC}$, nên khẳng định với dấu $+$ là Sai. Kết quả Đ-S-Đ-S khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 14: ĐSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nhân $b+2c=2a$ với $\frac{1}{2R}$ và dùng định lý sin $a=2R\sin A$, $b=2R\sin B$, $c=2R\sin C$ ta được $2\sin A=\sin B+2\sin C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $S$ là diện tích: $\frac{2}{h_a}=\frac{a}{S}$, $\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{b+c}{2S}$. Đẳng thức đòi hỏi $2a=b+c$, trái với $2a=b+2c$ do $c>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định lý sin trong tam giác: $\frac{a}{\sin A}=2R$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Định lý cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \widehat{BAC}$ (dấu trừ), nên khẳng định với dấu cộng là sai.