Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a$ và $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

Cho hai điểm $M(1;-2;3)$ và $N(3;4;-5)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{NM}$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=(1;-2;2)$; $\vec{b}=(-2;0;3)$. Khẳng định nào dưới đây là sai?

Trong không gian $Oxyz$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A(-1;0;3)$; $B(2;1;-1)$ và $C(3;2;2)$. Tọa độ của điểm $D$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 1, đỉnh $A$ trùng với gốc $O$, các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ theo thứ tự cùng hướng với $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0)$, $D(0;3;0)$, $D^{\prime }(0;3;-3)$. Tọa độ đỉnh $A^{\prime }(a;b;c)$. Tính $a+b-c$.

Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.

Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm $M(90;0;30)$, $N(90;120;30)$, $P(0;120;30)$, $Q(0;0;30)$.

Giả sử $K_0$ là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và $K_{0}M=K_{0}N=K_{0}P=K_{0}Q$. Để theo dõi quả bóng đến vị trí $A$, camera được hạ thấp theo phương thẳng xuống điểm $K_1$ cao độ bằng 19.



Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{K_0{K}_1}=(a;b;c)$ với $a,b,c$ là các số thực. Tính $P=a+b-c$?