Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $2a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,SC$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Vì MN∥AB, NP∥BC nên (MNP)∥(ABCD). Giao tuyến của (MNP) với (SDC) là đường thẳng qua P song song với DC (vì DC nằm trong (ABCD)). Đường này cắt SD tại Q, do đó PQ∥DC và P là trung điểm SC nên Q là trung điểm SD, PQ = DC/2 = (2a)/2 = a.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì (MNP)∥(ABCD) nên giao tuyến của (MNP) và (SDC) là đường thẳng qua P song song với DC, cắt SD tại Q là trung điểm SD. Suy ra PQ = DC/2 = a.
b) (AI giải đề cho tôi)
(MNO) không song song với (SCD). Thật vậy, MN∥AB nên MN không song song với mặt phẳng nào chứa đường thẳng cắt AB; cụ thể MN cắt (SCD) (vì AB cắt (SCD) tại D... AB∥DC nên AB∥(SCD), tuy nhiên xét MO: MO không song song với (SCD)). Dùng tọa độ: A(0,0,0), B(2a,0,0), C(2a,2a,0), D(0,2a,0), S(x,y,h). M=(x/2,y/2,h/2), N=(x/2+a,y/2,h/2), O=(a,a,0). VTCP MN=(a,0,0), MO=(a−x/2, a−y/2, −h/2). VTPT của (MNO): MN×MO=(0, ah/2, a(a−y/2)). VTPT của (SCD) phải vuông góc với DC=(0,2a,0), nhưng VTPT của (MNO) có thành phần theo Oy là ah/2 ≠ 0, tức (MNO) không vuông góc với DC theo cách cần thiết — hai mặt phẳng không song song (chúng cắt nhau). Vậy khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN∥AB; NP là đường trung bình của tam giác SBC nên NP∥BC. MN và NP cắt nhau tại N và cùng nằm trong (MNP); AB và BC cắt nhau tại B và cùng nằm trong (ABCD). Vậy (MNP)∥(ABCD).
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ a), Q là trung điểm SD. Khi đó QM là đường trung bình tam giác SAD nên QM∥AD, QM = a; PQ∥DC, PQ = a; MN∥AB, MN = a; NP∥BC, NP = a. MNPQ là hình bình hành, góc giữa MN và NP bằng góc giữa AB và BC bằng 90°, nên MNPQ là hình vuông cạnh a, diện tích S = a².