Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a$, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

a) Chứng minh đường thẳng $SM$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ với $M$ là trung điểm $AB$.

b) Chứng minh mặt phẳng $(SDM)$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.

c) Tính số đo góc nhị diện $[A,SD,C]$.

a) Theo đề bài, SAB là tam giác đều. Do đó $SM\perp AB$
Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng AB.
Suy ra $SM\perp (ABCD)$


b) Ta có ABC là tam giác đều, suy ra $DM\perp AB$
Mà $SM\perp AB$
Do đó $AB\perp (SDM)$. Suy ra $(SDM)$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.

c) AE vuông góc SD với E là trung điểm SD
Kẻ EK vuông SD
Do đó $[A,SD,C]=\widehat{AEK}$
Tính được $EK=\frac{a}{2}$; $EA=\frac{a\sqrt{10}}{4}$; $AK=\frac{a\sqrt{22}}{4}$.
$\cos \widehat{AEK}=\frac{E{A}^2+E{K}^2-A{K}^2}{2EA.EK}=\frac{-\sqrt{10}}{5}$.
Góc cần tìm 129,23 độ.

Học sinh giải đúng bằng nhiều cách khác cũng cho điểm