Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, $AC=2a$, $BC=a$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $AC=2a$, $BC=a$ nên $AB=a\sqrt{3}$.

a) $AB\perp BC$ nhưng $AB$ không vuông góc với $AC$ (góc $BAC\ne 90^{\circ }$), nên $AB$ không vuông góc với mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ → Sai.

b) Vì $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$, góc giữa $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $AC$ bằng góc giữa $BC$ và $AC$ = góc $BCA$, với $\cos \angle BCA=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$ → góc bằng $60^{\circ }$ → Đúng.

c) Hình chiếu của $B^{\prime }C$ lên $(ABC)$ là $BC$ (vì $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$), nên góc giữa $B^{\prime }C$ và $(ABC)$ là góc $B^{\prime }CB$, không phải $B^{\prime }CA$ → Sai.

d) $BC\perp AB$ và $BC\perp B{B}^{\prime }$ nên $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$; mà $BC\subset (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ nên $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ → Đúng.

Kết quả khớp bảng đáp án SĐSĐ.

a) (AI giải đề cho tôi)
$AB$ chỉ vuông góc với $BC$, không vuông góc với $AC$ nên không vuông góc với $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.

b) (AI giải đề cho tôi)
$B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ nên góc cần tìm là $\angle BCA=60^{\circ }$ vì $\cos \angle BCA=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$.

c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $B^{\prime }C$ trên $(ABC)$ là $BC$, góc giữa $B^{\prime }C$ và $(ABC)$ là $B^{\prime }CB$.

d) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$, $BC\perp B{B}^{\prime }$ nên $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, do đó $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.