Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình bình hành, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ và giao điểm $E$ của $AM$ và $(SBD)$.
b) Tìm giao điểm của $P$ của $SB$ và mặt phẳng $(MAD)$.
c) Gọi $F$ là điểm nằm trên cạnh $BC$. Gọi $N$ là giao điểm của $AF$ và $BD$, $K$ là giao điểm của $AF$ và $CD$, $I$ là giao điểm của $KM$ và $SD$. Chứng minh rằng $N$, $E$, $I$ thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải chi tiết Câu 5 (Phần II):

a) Ta có $S\in (SAC)\cap (SBD)$ và $O=AC\cap BD$ với $AC\subset (SAC)$, $BD\subset (SBD)$ nên $O\in (SAC)\cap (SBD)$. Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

Vì $AM\subset (SAC)$ nên $E=AM\cap (SBD)=AM\cap SO$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $E$ là giao điểm của $AM$ và $SO$ (hai đường thẳng không song song trong $(SAC)$), khi đó $E=AM\cap (SBD)$.

b) Xét $(MAD)$ và $(SBC)$: vì $AD\parallel BC$ nên $AD\parallel (SBC)$, suy ra giao tuyến của $(MAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $M$ song song với $AD$ (đồng thời song song với $BC$). Gọi đường thẳng này cắt $SB$ tại $P$. Trong tam giác $SBC$, đường thẳng qua $M$ (trung điểm của $SC$) và song song với $BC$ cắt $SB$ tại trung điểm của $SB$ (định lý đường trung bình). Vậy $P$ là trung điểm của $SB$ và $P=SB\cap (MAD)$.

c) Xét mặt phẳng $(AMK)$:
- Vì $K\in AF$ nên đường thẳng $AF=AK\subset (AMK)$, do đó $N=AF\cap BD\in (AMK)$.
- $A,M\in (AMK)$ nên $AM\subset (AMK)$, suy ra $E\in AM\subset (AMK)$.
- $K,M\in (AMK)$ nên $KM\subset (AMK)$, suy ra $I=KM\cap SD\in (AMK)$.

Mặt khác, tất cả đều thuộc mặt phẳng $(SBD)$:
- $N\in BD\subset (SBD)$.
- $E\in SO\subset (SBD)$ (theo câu a).
- $I\in SD\subset (SBD)$.

Vậy $N,E,I$ cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $(AMK)$ và $(SBD)$. Hai mặt phẳng này phân biệt (vì $A\notin (SBD)$) nên giao tuyến của chúng là một đường thẳng. Do đó $N$, $E$, $I$ thẳng hàng. Đpcm.