Cho hàm số $y=f(x)=\ln \frac{x}{x+1}-2025$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Tập xác định của hàm số là $(-\infty ;-1)\cup (0;+\infty )$.

b) Đạo hàm của hàm số là $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2+x}$.

c) Giá trị $y^{\prime }(3)$ bằng $\frac{13}{12}$.

d) Tổng $T=f^{\prime }(1)+f^{\prime }(2)+\cdots +f^{\prime }(2025)$ bằng $\frac{2025}{2026}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\ln \frac{x}{x+1}-2025$. a) Hàm số xác định khi $\frac{x}{x+1}>0$, tức $x<-1$ hoặc $x>0$, vậy tập xác định là $(-\infty ;-1)\cup (0;+\infty )$: đúng. b) $f^{\prime }(x)={\left(\ln x-\ln (x+1)\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x^2+x}$, mệnh đề đưa ra có dấu âm nên sai. c) $y^{\prime }(3)=\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{12}\ne \frac{13}{12}$: sai. d) $f^{\prime }(k)=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ nên $T=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}\right)=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{x}{x+1}>0\iff x<-1$ hoặc $x>0$, nên tập xác định là $(-\infty ;-1)\cup (0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x^2+x}$ (dấu dương), không phải $-\frac{1}{x^2+x}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(3)=\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{12}\ne \frac{13}{12}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(k)=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$, tổng dạng telescoping: $T=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$.