Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$3$		$5$		$+\infty$
$f^{\prime }(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(3-2x)$. Bảng xét dấu của $f^{\prime }$: $f^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(5;+\infty )$; $f^{\prime }<0$ trên $(-1;1)$, $(1;3)$, $(3;5)$; $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-1$ (từ $+$ sang $-$) và $x=5$ (từ $-$ sang $+$), không đổi dấu tại $x=1,3$.

$g^{\prime }(x)>0\iff f^{\prime }(3-2x)<0\iff 3-2x\in (-1;5)\iff x\in (-1;2)$. Vậy $g$ đồng biến trên $(-1;2)$, nghịch biến trên các khoảng còn lại.

a) Trên $\left(-\frac{5}{2};-1\right)$: $3-2x\in (5;8)$, nơi $f^{\prime }>0$ nên $g^{\prime }<0$: $g$ nghịch biến. Đúng.

b) $(1;2)\subset (-1;2)$ nên $g$ đồng biến. Đúng.

c) $g^{\prime }(x)=0$ khi $3-2x\in \{-1;1;3;5\}$, tức $x\in \{2;1;0;-1\}$. Tại $x=0$ (ứng với $t=3$) $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị; tại $x=2$ (ứng với $t=1$) $f^{\prime }$ cũng không đổi dấu nên không phải cực trị. Chỉ còn $x=-1$ và $x=1$ là cực trị: $g$ đạt cực đại tại $x=-1$ (vì $g^{\prime }$ đổi từ $+$ sang $-$) và cực tiểu tại $x=1$ (vì $g^{\prime }$ đổi từ $-$ sang $+$). Vậy $g$ có 3 điểm cực trị? Không — chỉ có 2 điểm cực trị. Xét lại: $x=2$ cho $t=1$, $f^{\prime }$ âm hai bên nên $g^{\prime }$ dương hai bên, không cực trị; $x=0$ cho $t=3$, tương tự. Vậy $g$ chỉ có 2 điểm cực trị, phát biểu c) SAI.

d) $g$ có đúng 1 điểm cực tiểu tại $x=1$. Đúng.

Kết luận: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in \left(-\frac{5}{2};-1\right)$ thì $3-2x\in (5;8)$, $f^{\prime }>0$ nên $g^{\prime }=-2f^{\prime }<0$: $g$ nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)>0\iff x\in (-1;2)$, mà $(1;2)\subset (-1;2)$ nên $g$ đồng biến trên $(1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }=0$ tại $x\in \{-1;0;1;2\}$ nhưng tại $x=0$ ($t=3$) và $x=2$ ($t=1$), $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. $g$ chỉ có 2 điểm cực trị ($x=-1$ cực đại, $x=1$ cực tiểu).
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong 2 điểm cực trị, $x=-1$ là cực đại (do $f^{\prime }$ đổi dấu $+\to -$ tại $t=5$) và $x=1$ là cực tiểu (do $f^{\prime }$ đổi dấu $-\to +$ tại $t=-1$). Vậy $g$ có đúng 1 điểm cực tiểu.