Cho hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.
a) Tập xác định: $x\ne -1$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, không phải $\mathbb{R}$ → Sai.
b) $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+3x+1-x^2-x-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$, khác $\frac{x^2-2x}{(x+1{)}^2}$ → Sai.
c) $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Với $x=-2$: $y=\frac{4-2+1}{-1}=-3$ (cực đại); với $x=0$: $y=1$ (cực tiểu). Trên $(-\infty ;-1)$: hàm đồng biến rồi nghịch biến, đi từ $-\infty$ lên $-3$ rồi xuống $-\infty$ khi $x\to (-1{)}^{-}$; trên $(-1;+\infty )$: nghịch biến rồi đồng biến, từ $+\infty$ xuống $1$ rồi lên $+\infty$. Bảng biến thiên khớp hoàn toàn → Đúng.
d) Hai điểm cực trị $(-2;-3)$ và $(0;1)$: khoảng cách $=\sqrt{(0+2{)}^2+(1+3{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ → Đúng.
Đối chiếu đáp án Phần II Câu 3 mã 0103: S, S, Đ, Đ — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x+1\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \mathbb{R}$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính đúng $y^{\prime }=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$, không phải $\frac{x^2-2x}{(x+1{)}^2}$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại $(-2;-3)$, cực tiểu $(0;1)$, chiều biến thiên khớp bảng biến thiên đã cho → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt{(-2-0{)}^2+(-3-1{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ → Đúng.