Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ thoả mãn $f^{\prime }(x)=\frac{2x-3}{x+2}$, $f(0)=1$ và $f(-4)=2$. Giá trị của biểu thức $f(-1)-f(-3)$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2x-3}{x+2}=\frac{2(x+2)-7}{x+2}=2-\frac{7}{x+2}$.

Suy ra trên mỗi khoảng của $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$:
$$f(x)=2x-7\ln |x+2|+C.$$

Vì $f$ chỉ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, hằng số nguyên hàm trên hai khoảng $(-\infty ,-2)$ và $(-2,+\infty )$ là độc lập.

• Trên khoảng $(-2,+\infty )$: điều kiện $f(0)=1$ cho
$$-7\ln 2+C_1=1\Rightarrow C_1=1+7\ln 2.$$
Do đó $f(-1)=-2-7\ln 1+C_1=-2+1+7\ln 2=-1+7\ln 2$.

• Trên khoảng $(-\infty ,-2)$: điều kiện $f(-4)=2$ cho
$$-8-7\ln 2+C_2=2\Rightarrow C_2=10+7\ln 2.$$
Do đó $f(-3)=-6-7\ln 1+C_2=-6+10+7\ln 2=4+7\ln 2$.

Vậy
$$f(-1)-f(-3)=(-1+7\ln 2)-(4+7\ln 2)=-5.$$

Kiểm tra: $f(-1)-f(-3)={\int }_{-3}^{-1}{f}^{\prime }(x)dx$ không tính trực tiếp được qua $-2$, nhưng với hai hằng số riêng như trên, cả hai điều kiện $f(0)=1$ và $f(-4)=2$ đều thỏa mãn và kết quả $-5$ là duy nhất.