Cho hàm số $f(x)$ có $f^{\prime }(x)=(x-1)(x+2)\sqrt[3]{x-3}$. Số điểm cực đại của hàm số $f(x^3-3x)$ là

Xét hàm số $g(x)=f(x^3-3x)$.
Ta có $g^{\prime }(x)=(3x^2-3)f^{\prime }(x^3-3x)=3(x^2-1)f^{\prime }(x^3-3x)$.
$f^{\prime }(u)=(u-1)(u+2)\sqrt[3]{u-3}=0⟺u\in \{-2;1;3\}$.
Tại mỗi nghiệm $u=-2,u=1,u=3$ thì $f^{\prime }(u)$ đều đổi dấu (các nhân tử đều có bậc lẻ).
Xét hàm số $u(x)=x^3-3x$:
- $u^{\prime }(x)=3x^2-3=0⟺x=\pm 1$.
- Bảng biến thiên của $u(x)$:
- $u(x)$ tăng từ $-\infty$ đến cực đại $u(-1)=2$.
- $u(x)$ giảm từ 2 xuống cực tiểu $u(1)=-2$.
- $u(x)$ tăng từ $-2$ đến $+\infty$.
Số nghiệm của phương trình $f^{\prime }(u(x))=0$:
- $u(x)=3>2$: có 1 nghiệm đơn $x_1>1$.
- $u(x)=1\in (-2;2)$: có 3 nghiệm đơn phân biệt $x_2<-1<x_3<1<x_4$.
- $u(x)=-2$: có 1 nghiệm đơn $x_5=-2$ và 1 nghiệm kép tại $x=1$.
Tại điểm $x=1$: nhân tử $x^2-1$ có nghiệm đơn $x=1$, trong khi $(u(x)+2)$ có nghiệm bội chẵn tại $x=1$, do đó $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $x=1$.
Tại điểm $x=-1$: nhân tử $x^2-1$ có nghiệm đơn $x=-1$, còn $u(-1)=2\notin \{-2;1;3\}$, do đó $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua $x=-1$.
Như vậy, $g^{\prime }(x)=0$ có 7 nghiệm phân biệt làm $g^{\prime }(x)$ đổi dấu.
Xét dấu của $g^{\prime }(x)$ khi $x\to -\infty$:
- $x^2-1>0$.
- $u(x)\to -\infty ⟹(u-1)<0,(u+2)<0,\sqrt[3]{u-3}<0⟹f^{\prime }(u)<0$.
Vậy $g^{\prime }(x)<0$ khi $x\to -\infty$ và $g^{\prime }(x)>0$ khi $x\to +\infty$.
Qua 7 điểm cực trị đổi dấu liên tiếp:
$g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm tại đúng 4 điểm cực đại.
Vậy hàm số có 4 điểm cực đại.