Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ . Tính $I=F(e)-F(1)$ ?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $x^{2}f(x^5)+xf(1-x^4)=-3x^4+x+3,\forall x\in \mathbb{R}$. Khi đó tích phân ${\int }_0^{1}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1;8]$ và thỏa mãn ${\int }_1^2[f(x^3){]}^{2}dx+2{\int }_1^{2}f(x^3)dx-\frac{4}{3}{\int }_1^{8}f(x)dx=-\frac{247}{15}$. Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[1;8]$. Tích phân ${\int }_1^{8}x{F}^{\prime }(x)dx$ bằng

Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_3^{5}f(x)dx=a$, $(a\in \mathbb{R})$. Tích phân $I={\int }_1^{2}f(2x+1)dx$ có giá trị bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên đoạn $[1;2]$. $f(x)\ne 0$ với mọi $x\in [1;2]$, đồng thời $f^{\prime }(x)(1-f(x){)}^2={\left[(f(x){)}^2(x+1)\right]}^2$ và $f(1)=-1$. Biết rằng ${\int }_1^2(x-1)f(x)dx=\ln a+b$ ($a,b\in \mathbb{Z}$), tính tổng $S=a+b^2$?

${\int }_1^3{e}^{3x-1}dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${\int }_0^{3}x\cdot f^{\prime }(2x-4)dx=8$; $f(2)=2$. Tính $I={\int }_{-2}^{1}f(2x)dx$.