Cho $\Delta ABC$, các điểm $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $AC$, $BC$. Với $O$ là điểm bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $N$ là điểm thỏa $\overrightarrow{C^{\prime }N}=2\overrightarrow{N{B}^{\prime }}$, $M$ là trung điểm của $A^{\prime }{D}^{\prime }$, $I$ là giao điểm của $A^{\prime }N$ và $B^{\prime }M$. Biết $\overrightarrow{AI}=a\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AD}$. Tổng $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Cho tứ diện $ABCD$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{c}$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $BC$. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ và điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AM=2BM$. Khi đó $\overrightarrow{MG}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}+z\overrightarrow{AD}$. Tìm tổng $2x+y+z$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM lần lượt cắt đoạn SB, SD tại các điểm $B^{\prime }$, $D^{\prime }$ khác S. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\frac{S{B}^{\prime }}{SB}+\frac{S{D}^{\prime }}{SD}$ có dạng $\frac{a}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính tổng $S=a+b$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM lần lượt cắt đoạn SB, SD tại các điểm $B^{\prime }$, $D^{\prime }$ khác S. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\frac{S{B}^{\prime }}{SB}+\frac{S{D}^{\prime }}{SD}$ có dạng $\frac{a}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính tổng $S=a+b$.

Cho các điểm phân biệt $A,B,C,D$. Đẳng thức nào sau đây đúng?