Cho $a>0$ thỏa mãn $\ln a=\frac{4}{3}$. Tính $\ln \left(e^3\cdot \sqrt{a}\right)$.

Câu 4. Để thiết lập kênh truyền thông bảo mật tuyệt đối qua mạng sợi quang đô thị, một viện công nghệ sử dụng các photon phân cực đơn lẻ phát ra từ nguồn laser. Do hiện tượng hấp thụ và tán xạ Rayleigh, xác suất $P(d)$ để một photon vượt qua thành công đoạn sợi quang có chiều dài $d$ (tính bằng km) mà không bị suy hao được mô hình hoá bởi hàm số: $P(d)=2^{-k\cdot d}$ trong đó $k$ là suất suy hao quang học của sợi quang ($k>0$).
1. Trong giai đoạn kiểm chuẩn ban đầu trên một tuyến cáp thử nghiệm dài $12\text{ km}$, máy đếm photon đầu cuối đo được tỷ lệ photon bị thất thoát (suy hao) là $75\%$.
2. Khi triển khai kết nối thực tế giữa hai trung tâm điều hành, máy phát sử dụng xung laser có tần số xung cực cao, liên tục phát ra $N=10^8$ photon mỗi giây vào sợi quang. Để giao thức mã hoá bảo mật lượng tử tự động duy trì hoạt động liên tục (không bị ngắt kết nối do lỗi thiếu photon), trạm thu phải thu nhận được tối thiểu $25$ photon mỗi giây.
Hỏi khoảng cách tối đa $d_{\max }$ giữa hai trung tâm điều hành là bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của kilômét).

Câu 11. Số nghiệm của phương trình $\log (x+1)={\log }_{0,1}(x+4)$ là

Nghiệm của phương trình ${\log }_2(x+7)=5$ là

Cho $\log a=2;\log b=3$. Giá trị $\log \left(\frac{a^2}{b}\right)$ bằng

Cho phương trình ${\log }_3^2(3x)+{\log }_{3}x+m-1=0$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(0;1)$?

Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_2\frac{2x^2+5y^2}{2+xy}=5+2xy-2x^2-5y^2$. Biết rằng biểu thức $P=\frac{2x-y+2}{x-2y+4}$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=m,y=n$. Giá trị của tổng $m+n$ bằng