Chi phí nhiên liệu của một con tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghìn đồng trên 1 giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi $v=10(km/h)$ thì chi phí nhiên liệu phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng/giờ. Gọi $x(km/h)$ là vận tốc của tàu.

Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán $x$ chiếc máy xay sinh tố hàng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) có thể được tính bằng công thức $P(x)=-0,3x^3+36x^2+1800x-48000$. Để có lợi nhuận lớn nhất công ty cần sản xuất bao nhiêu chiếc máy xay sinh tố mỗi tháng?

Một hãng chế tác đồng hồ có quy trình sản xuất tuân theo công thức $Q=\sqrt{KL}$ (gọi là công thức Cobb-Douglas), trong đó $Q$ là số chiếc đồng hồ chế tác ra được, $K$ là số đơn vị vốn (máy móc, thiết bị), $L$ là số đơn vị lao động (thợ chế tác) mà hãng đó thuê được. Khi đó biểu thức
$$F=16K+9L+40$$
mô tả tổng chi phí mà hãng đó phải bỏ ra (đơn vị: nghìn USD). Năm 2025, để kỷ niệm 160 năm thành lập, hãng quyết định chế tác 160 chiếc đồng hồ phiên bản giới hạn toàn cầu.

Trên một khu đất hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh 200 m đang diễn ra một cuộc thi. Mỗi đội thi sẽ điều khiển con robot mà ban tổ chức cung cấp, xuất phát từ chính giữa cạnh $AB$, đi theo một đường thẳng và đến đích là một điểm bất kỳ trên cạnh $CD$. Ở chính giữa khu đất là một bãi cát hình chữ nhật có chiều dài 120 m và chiều rộng 80 m. Vận tốc của robot khi đi trên mặt đất là 3 m/s còn khi đi trên cát là 2 m/s. Gọi $a$ là thời gian (tính theo giây) ngắn nhất mà robot đi đến đích. Khi đó giá trị $100a$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Xét trên đoạn đường thẳng $OA$ dài 30 km, cùng một lúc, ở $A$ có một người đi xe đạp đi về $O$ với vận tốc 15 km/h, đồng thời tại $O$ có một chiếc khinh khí cầu bay lên với vận tốc 10 km/h. Gọi $t$ (đơn vị: giờ, $t\ge 0$) là thời gian kể từ lúc người đi xe đạp và khinh khí cầu bắt đầu di chuyển. Khoảng cách ngắn nhất giữa người đi xe đạp và khinh khí cầu đạt được khi $t$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Trên một khu đất hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh 200 m đang diễn ra một cuộc thi. Mỗi đội thi sẽ điều khiển con robot mà ban tổ chức cung cấp, xuất phát từ chính giữa cạnh $AB$, đi theo một đường thẳng và đến đích là một điểm bất kỳ trên cạnh $CD$. Ở chính giữa khu đất là một bãi cát hình chữ nhật có chiều dài 120 m và chiều rộng 80 m. Vận tốc của robot khi đi trên mặt đất là 3 m/s còn khi đi trên cát là 2 m/s. Gọi $a$ là thời gian (tính theo giây) ngắn nhất mà robot đi đến đích. Khi đó giá trị $100a$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Xét trên đoạn đường thẳng $OA$ dài 30 km, cùng một lúc, ở $A$ có một người đi xe đạp đi về $O$ với vận tốc 15 km/h, đồng thời tại $O$ có một chiếc khinh khí cầu bay lên với vận tốc 10 km/h. Gọi $t$ (đơn vị: giờ, $t\ge 0$) là thời gian kể từ lúc người đi xe đạp và khinh khí cầu bắt đầu di chuyển. Khoảng cách ngắn nhất giữa người đi xe đạp và khinh khí cầu đạt được khi $t$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)