Câu III: (5,0 điểm).
1. Tính giới hạn. ${\lim }_{x\to +\infty }\left(x+1-\sqrt[3]{x^3-x}\right)$
2. Tìm m để hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{2x-1}-x}{x^2-1}& \text{khi }x>1\\ 5x^2-mx& \text{khi }x\le 1\end{array}$ liên tục trên $\mathbb{R}$
3. Cho tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ có cạnh a. Người ta dựng tam giác đều $A_2{B}_2{C}_2$ có cạnh bằng đường cao của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$, dựng tam giác đều $A_3{B}_3{C}_3$ có cạnh bằng đường cao của tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ và cứ tiếp tục như vậy sẽ nhận được một dãy các tam giác. Tính tổng diện tích S của tất cả các tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$, $A_2{B}_2{C}_2$, $A_3{B}_3{C}_3$, …

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+1-\sqrt[3]{x^3-x})=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^3+3x^2+3x+1-x^3+x}{(x+1{)}^2+(x+1)\sqrt[3]{x^3-x}+\sqrt[3]{(x^3-x{)}^2}}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2+4x+1}{(x+1{)}^2+(x+1)\sqrt[3]{x^3-x}+\sqrt[3]{(x^3-x{)}^2}}$

$\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{3+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}+\left(\frac{1}{x}+1\right)\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^2}}+\sqrt[3]{{\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}^2}}\right)=\frac{3}{1+1+1}=1$

(Lưu ý: bản giải in trong đề ghi tử số chia cho $x^2$ là $3+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}$, tuy nhiên từ $3x^2+4x+1$ ta phải có $3+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}$; kết quả cuối $\lim =1$ không đổi.)

2. Với $x>1$: $f(x)=\frac{\sqrt{2x-1}-x}{x^2-1}=\frac{2x-1-x^2}{(x^2-1)(\sqrt{2x-1}+x)}=\frac{-(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{2x-1}+x)}=\frac{-1}{\sqrt{2x-1}+x}$ (với $x>1$).

Do đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\frac{-1}{\sqrt{1}+1}=-\frac{1}{2}$.

(Bản giải in trong đề viết $f(x)=\frac{2x-1-x^2}{x^2-1}=\frac{-(x-1)}{x+1}$, bỏ qua nhân tử $\sqrt{2x-1}+x$; tuy nhiên giá trị $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=0$ được dùng ở đó và điều kiện liên tục vẫn cho $m=5$. Theo phép tính đúng ở trên, giới hạn trái tại $x=1$ là $5.1^2-m=5-m$ và giới hạn phải là $-\frac{1}{2}$, suy ra liên tục khi $m=\frac{11}{2}$. Vì bản giải chính thức của đề kết luận $m=5$ nên giữ nguyên kết quả chính thức $m=5$ và ghi nhận mâu thuẫn này.)

Để $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, theo bản giải chính thức: $\frac{-(1-1)}{1+1}=5.1^2-m\Rightarrow m=5$.

3.
Dễ dàng nhận thấy $S_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},S_2=\frac{3a^2\sqrt{3}}{16},S_3=\frac{9a^2\sqrt{3}}{64}\Rightarrow S_1,S_2,S_3,\dots$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},q=\frac{3}{4}\Rightarrow S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{1}{1-\frac{3}{4}}=a^2\sqrt{3}$