Câu 5. Từ một tấm bìa mỏng hình lục giác đều cạnh $4\sqrt{3}\text{ dm}$, bạn An cắt bỏ sáu tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của hình lục giác đều ban đầu và đỉnh là đỉnh của một hình lục giác đều nhỏ phía trong rồi gấp lên, ghép lại tạo thành một khối chóp lục giác đều (Hình vẽ). Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất bằng $\frac{a\sqrt{b}}{c}{\text{ dm}}^3$, với $\frac{a}{c}$ là phân số tối giản và $b<20$. Tính $a+2b+3c$.

Tại một xí nghiệp chuyên sản xuất vật liệu xây dựng, nếu trong một ngày xí nghiệp sản xuất $x{\text{ (m}}^3\text{)}$ sản phẩm thì phải bỏ ra các khoản chi phí bao gồm: $2$ triệu đồng chi phí cố định; $0,5$ triệu đồng chi phí cho mỗi mét khối sản phẩm và $0,005x^2$ triệu đồng chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết rằng, mỗi ngày xí nghiệp sản xuất được tối đa $36{\text{ (m}}^3\text{)}$ sản phẩm. Tìm chi phí trung bình (triệu đồng) trên mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất mà xí nghiệp cần bỏ ra (làm tròn đến hàng phần trăm).

Mặt cắt ngang phần chứa nước của một mương dẫn nước là hình chữ nhật $ABCD$. Để đáp ứng yêu cầu thiết kế, diện tích mặt cắt ngang phần chứa nước trong mương luôn bằng $1,2{\text{ m}}^2$. Gọi $BC=x$ $(\text{m})$ là chiều rộng đáy mương, khi thiết kế người ta muốn tổng chiều dài thành và đáy mương $y=AB+BC+CD$ là ngắn nhất, đồng thời phải thỏa mãn $BC<10$ $(\text{m})$.

[IMAGE:img_q15_canal]

Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

Một hợp tác xã cần vận chuyển $3600\text{ kg}$ sầu riêng trong một mùa vụ. Hợp tác xã chia thành nhiều chuyến, mỗi chuyến chở $x\text{ kg}$ $(1\le x\le 3600,x\in {\mathbb{N}}^{\ast })$, giả sử $x$ là ước của $3600$ để khối lượng hàng được chia đều cho các chuyến. Chi phí cho mỗi chuyến gồm:
• Phí xe cố định là $50$ nghìn đồng/chuyến.
• Phí bảo quản lạnh được tính $0,005x^2$ (nghìn đồng/chuyến).
Hỏi mỗi chuyến nên chở bao nhiêu $\text{kg}$ để tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất?

[IMAGE:img_q17_durian]

Một nhà địa chất học đang ở tại điểm $A$ trên sa mạc. Anh ta muốn đến điểm $B$ và cách $A$ một đoạn là $70$ km. Trong sa mạc thì xe anh ta chỉ có thể di chuyển với vận tốc là $30$ km/h. Nhà địa chất phải đến được điểm $B$ sau $2$ giờ. Vì vậy, nếu anh ta đi từ $A$ đến $B$ sẽ không thể đến đúng giờ được. May mắn thay, có một con đường nhựa song song với đường nối $A$ và $B$ và cách $AB$ một đoạn $10$ km. Trên đường nhựa đó thì xe nhà địa chất này có thể di chuyển với vận tốc $50$ km/h. Thời gian ngắn nhất để nhà địa chất di chuyển từ $A$ đến $B$ là bao nhiêu phút.

Một doanh nghiệp sản xuất linh kiện công nghệ cao đang giữ vị thế độc quyền trên thị trường và luôn bán hết số sản phẩm sản xuất ra. Với $x$ là số lượng sản phẩm sản xuất ra ($0<x<3520$) thì giá bán của một sản phẩm được cho bởi công thức $P(x)=1760-0,5x$ (tính bằng USD) và tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi công thức $C(x)=\frac{1}{3}{x}^3-10x^2+200x+1000$ (tính bằng USD). Chính phủ dự định áp dụng chính sách thuế bằng cách thu của doanh nghiệp một khoản thuế là $t$ (USD) trên mỗi sản phẩm bán ra. Khi đó, doanh nghiệp sẽ điều chỉnh sản lượng $x$ để đạt lợi nhuận tối đa ứng với mức thuế $t$. Xác định mức thuế $t$ (USD) mà Chính phủ nên áp đặt để tổng số tiền thuế thu được từ doanh nghiệp này là lớn nhất.

Một doanh nghiệp chuyên sản xuất ô tô hạng sang, biết nhu cầu của thị trường và chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là $Q=5000-\frac{P}{3}$, $C(Q)=Q^2+2200Q+500$, trong đó $Q$ là số sản phẩm và $P$ là giá bán của một sản phẩm. Giả sử Nhà nước đánh thuế đặc biệt $t$ (triệu đồng) trên mỗi đơn vị sản phẩm. Với mỗi mức thuế $t$, doanh nghiệp lựa chọn sản lượng $Q$ để lợi nhuận đạt lớn nhất. Hãy xác định mức sản lượng $Q$ mà doanh nghiệp sẽ sản xuất nếu Nhà nước chọn mức thuế $t$ sao cho số tiền thuế thu được là lớn nhất.